Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 2017 - Exercice 5
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5 points
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O~;~I,~ J,~ K)$. On considère les points \[\text{A}(-1~;~-1~;~0),\: \text{B}(6~;~-5~;~1),\: \text{C}(1~;~2~;~-2) \:\:\text{et S}(13~;~37~;~54).\]
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- Justifier que les points A, B et C définissent bien un plan.
- Prouver que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\16\\29\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).
- En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
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- Déterminer la nature du triangle ABC.
- Démontrer que la valeur exacte de l'aire du triangle ABC est, en unités d'aire, $\dfrac{\sqrt{1122}}{2}$.
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- Prouver que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.
- La droite $(\Delta)$ perpendiculaire au plan (ABC) passant par le point S coupe le plan (ABC) en un point noté H. Déterminer les coordonnées du point H.
- Déterminer le volume du tétraèdre SABC.
On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par \[\dfrac{\text{ Aire de la base} \times \text{ hauteur} }{3}.\]
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