Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 2017
Exercice 1 5 points
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^{- x}\] et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
Partie A
- Justifier toutes les informations du tableau de variations de $f$ donné ci-dessous.
- Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par \[F(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}.\] Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
Partie B
Soit $a$ un nombre réel tel que $0 < a < 1$. On considère la droite $D_a$ d'équation $y = ax$ et $M$ le point d'intersection de la droite $D_a$ avec la courbe $\mathcal{C}_f$. On note $x_M$ l'abscisse du point $M$. On note $\mathcal{H}(a)$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous, c'est-à-dire du domaine situé sous la courbe $\mathcal{C}_f$ au-dessus de la droite $D_a$ et entre les droites d’équation $x = 0$ et $x = x_M$. Le but de cette partie est d'établir l'existence et l'unicité de la valeur de $a$ telle que $\mathcal{H}(a) = 0,5$ puis d'étudier un algorithme.
- Prouver que la droite $D_a$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ ont un unique point d'intersection $M$ distinct de l'origine.
On admet dans la suite de l'exercice que le point $M$ a pour abscisse $x_M = - \ln a$ et que la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de la droite $D_a$ sur l'intervalle $[0~;~- \ln (a)]$.
- Montrer que $\mathcal{H}(a) = a \ln (a) - \frac{1}{2}a(\ln (a))^2 + 1 - a$.
- Soit la fonction $\mathcal{H}$ définie sur $]0~;~1]$ par $\mathcal{H}(x) = x \ln (x) - \frac{1}{2}x(\ln (x))^2 + 1 - x$. On admet que $\mathcal{H}$ est dérivable sur $]0~;~1] $ et que son tableau de variations correspond à celui qui est proposé ci-dessous.
Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha \in ]0~;~1[$ tel que $\mathcal{H}(\alpha) = 0,5$. - On considère l'algorithme présenté ci-dessous. $$\begin{array}{|lc|}\hline \text{VARIABLES } : &A, B \text{ et } C \text{ sont des nombres };\\ & p \text{ est un entier naturel }.\\ \text{ INITIALISATION } : & \text{ Demander la valeur de } p\\ & A \text{ prend la valeur } 0\\ &B \text{ prend la valeur } 1\\ \text{ TRAITEMENT } : & \text{Tant que } B - A > 10^{-p}\\ &\hspace{0.25cm} \begin{array}{|l} C \text{ prend la valeur } (A + B)/2\\ \text{Si } \mathcal{H}(C) > 0,5\\ \hspace{0.5cm} \begin{array}{|l} \text{ Alors } A \text{ prend la valeur de }C\\ \text{ Sinon }B \text{ prend la valeur de } C\\ \end{array}\\ \text{ Fin de la boucle Si } \\ \end{array}\\ &\text{ Fin de la boucle Tant que }\\ \text{SORTIE } : &\text{Afficher } A \text{ et } B.\\ \hline \end{array} $$ Que représentent les valeurs $A$ et $B$ affichées en sortie de cet algorithme ?
- Donner un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$.
Correction de l'exercice 1 (5 points)
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^{- x}\] et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
Partie A
- Justifier toutes les informations du tableau de variations de $f$ donné ci-dessous.
- Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par \[F(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}.\] Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. $F$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
$f(x)=-(-x)\text{e}^{-x}$
$\left.\begin{array}{l}\lim\limits_{x\to+\infty} -x=-\infty \\
\lim\limits_{X \to -\infty}X\text{e}^X=0\end{array}\right\}$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$
La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$f'(x)=\text{e}^{-x}-x\text{e}^{-x}=(1-x)\text{e}^{-x}$
La fonction exponentielle est strictement positive.
Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $1-x$.
Or $1-x>0 \iff x<1$ et $1-x=0\iff x=1$
On en déduit donc que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
De plus $f(1)=1\times \text{e}^{-1}=\dfrac{1}{\text{e}}$.
$F'(x)=-1\times \text{e}^{-x}-(-x-1)\text{e}^{-x}=(-1+x+1)\text{e}^{-x}=x\text{e}^{-x}=f(x)$.
La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
Partie B
Soit $a$ un nombre réel tel que $0 < a < 1$. On considère la droite $D_a$ d'équation $y = ax$ et $M$ le point d'intersection de la droite $D_a$ avec la courbe $\mathcal{C}_f$. On note $x_M$ l'abscisse du point $M$. On note $\mathcal{H}(a)$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous, c'est-à-dire du domaine situé sous la courbe $\mathcal{C}_f$ au-dessus de la droite $D_a$ et entre les droites d’équation $x = 0$ et $x = x_M$. Le but de cette partie est d'établir l'existence et l'unicité de la valeur de $a$ telle que $\mathcal{H}(a) = 0,5$ puis d'étudier un algorithme.
- Prouver que la droite $D_a$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ ont un unique point d'intersection $M$ distinct de l'origine. On veut résoudre l’équation $f(x)=ax \iff x\text{e}^{-x}=ax \iff x\text{e}^{-x}-ax=0\iff x\left(\text{e}^{-x}-a\right)=0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $x=0$ ou $\text{e}^{-x}-a=0$
Or $\text{e}^{-x}-a=0\iff \text{e}^{-x}=a \iff -x=\ln a \iff x=-\ln a$
La droite $D_a$ et la courbe $\mathscr{C}_f$ ont donc un unique point d’intersection distinct de l’origine d’abscisse $x_M=-\ln a$.
On admet dans la suite de l'exercice que le point $M$ a pour abscisse $x_M = - \ln a$ et que la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de la droite $D_a$ sur l'intervalle $[0~;~- \ln (a)]$.
- Montrer que $\mathcal{H}(a) = a \ln (a) - \frac{1}{2}a(\ln (a))^2 + 1 - a$. $\mathscr{H}_a$ est l’aire du domaine compris entre la droite $D_a$, la courbe $\mathscr{C}_f$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=-\ln a$.
- Soit la fonction $\mathcal{H}$ définie sur $]0~;~1]$ par $\mathcal{H}(x) = x \ln (x) - \frac{1}{2}x(\ln (x))^2 + 1 - x$. On admet que $\mathcal{H}$ est dérivable sur $]0~;~1] $ et que son tableau de variations correspond à celui qui est proposé ci-dessous.
Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha \in ]0~;~1[$ tel que $\mathcal{H}(\alpha) = 0,5$. La fonction $\mathscr{H}$ est continue (car dérivable) sur l’intervalle $]0;1]$ et strictement décroissante sur cet intervalle. - On considère l'algorithme présenté ci-dessous. $$\begin{array}{|lc|}\hline \text{VARIABLES } : &A, B \text{ et } C \text{ sont des nombres };\\ & p \text{ est un entier naturel }.\\ \text{ INITIALISATION } : & \text{ Demander la valeur de } p\\ & A \text{ prend la valeur } 0\\ &B \text{ prend la valeur } 1\\ \text{ TRAITEMENT } : & \text{Tant que } B - A > 10^{-p}\\ &\hspace{0.25cm} \begin{array}{|l} C \text{ prend la valeur } (A + B)/2\\ \text{Si } \mathcal{H}(C) > 0,5\\ \hspace{0.5cm} \begin{array}{|l} \text{ Alors } A \text{ prend la valeur de }C\\ \text{ Sinon }B \text{ prend la valeur de } C\\ \end{array}\\ \text{ Fin de la boucle Si } \\ \end{array}\\ &\text{ Fin de la boucle Tant que }\\ \text{SORTIE } : &\text{Afficher } A \text{ et } B.\\ \hline \end{array} $$ Que représentent les valeurs $A$ et $B$ affichées en sortie de cet algorithme ? Les valeurs $A$ et $B$ sont, respectivement, un minorant et un majorant de $\alpha$ d’amplitude inférieure ou égale à $10^{-p}$.
- Donner un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$. A l’aide de la calculatrice, on obtient l’encadrement $0,06< \alpha<0,07$ d’amplitude $0,01$.
Par conséquent :
$\begin{align*} \mathscr{H}_a&=\displaystyle \int_0^{-\ln a} \left(f(x)-ax\right) \;dx \\
&=\left[(-x-1)\text{e}^{-x}-\dfrac{ax^2}{2}\right]_0^{-\ln a} \\
&=\left(\ln a-1\right)\text{e}^{\ln a}-\dfrac{a\left(\ln a\right)^2}{2}-(-1)\text{e}^0 \\
&=\left(\ln a-1\right)\times a-\dfrac{1}{2}a\left(\ln a\right)^2+1\\
&=a\ln a-a-\dfrac{1}{2}a\left(\ln a\right)^2+1\\
&=a\ln a-\dfrac{1}{2}a\left(\ln a\right)^2+1-a
\end{align*}$
De plus $\mathscr{H}(0)=1>0,5$ et $\mathscr{H}(1)=0<0,5$. Or $0,5\in]0;1[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $\mathscr{H}(x)=0,5$ possède une unique solution sur l’intervalle $]0;1[$.
$\quad$
Exercice 2 3 points
Répondre à chacune des affirmations ci-dessous par Vrai ou Faux en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Les deux questions sont indépendantes l'une de l'autre.
- La durée de vie $T$ (exprimée en années) d'un appareil électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda > 0$. On sait qu'un tel appareil a une durée de vie moyenne de quatre ans. La probabilité que cet appareil fonctionne deux années de plus sachant qu'il a déjà fonctionné trois ans est d'environ $0,39$ à $0,01$ près.
- Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O};~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$. L'équation $z^3 - 3z^2 + 3z = 0$ admet trois solutions dans l’ensemble des nombres complexes $\mathbb C$, qui sont les affixes de trois points formant un triangle équilatéral.
Correction de l'exercice 2 (3 points)
Répondre à chacune des affirmations ci-dessous par Vrai ou Faux en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Les deux questions sont indépendantes l'une de l'autre.
- La durée de vie $T$ (exprimée en années) d'un appareil électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda > 0$. On sait qu'un tel appareil a une durée de vie moyenne de quatre ans. La probabilité que cet appareil fonctionne deux années de plus sachant qu'il a déjà fonctionné trois ans est d'environ $0,39$ à $0,01$ près. La durée de vie moyenne est de quatre ans. Donc $E(T)=4=\dfrac{1}{\lambda}$ Par conséquent $\lambda =\dfrac{1}{4}=0,25$.
- Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O};~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$. L'équation $z^3 - 3z^2 + 3z = 0$ admet trois solutions dans l’ensemble des nombres complexes $\mathbb C$, qui sont les affixes de trois points formant un triangle équilatéral. $z^3-3z^2+3z=0\iff z\left(z^2-3z+3\right)=0 \iff z=0$ ou $z^2-3z+3=0$
On veut calculer $P_{(T\geq 3)}(T\geq 2+3)=P(T\geq 2)$ (durée de vie sans vieillissement)
Or $P(T \geq 2)=\text{e}^{-0,25 \times 2}=\text{e}^{-0,5}\approx 0,61$
L’affirmation est donc fausse.
On calcule le discriminant de $z^2-3z+3=0$
$\Delta = (-3)^-3\times 4= -3<0$
L’équation du second degré possède donc deux solutions complexes $z_1=\dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $z_2= \overline{z_1}=\dfrac{3+\text{i}\sqrt{3}}{2}$.
Les solutions de l’équation $z^3-3z^2+3z=0$ sont donc $0$, $\dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{3+\text{i}\sqrt{3}}{2}$.
On appelle respectivement $O$, $A$ et $B$ les points d’affixes $0$, $\dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{3+\text{i}\sqrt{3}}{2}$.
$OA=\left|z_A\right| = \sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{3}$
$OB=\left|z_B\right|=\left| \overline{z_A}\right|=\sqrt{3}$
$AB=\left|z_B-z_A\right|=\left|\text{i} \sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$.
Le triangle $OAB$ est donc équilatéral.
L’affirmation est donc vraie.
Exercice 3 4 points
Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. Des étudiants d'une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme.
Partie A
Sur les 34 sujets de l'examen déjà posés, 22 portaient sur le thème A. Peut-on rejeter au seuil de $95\,\%$ l'affirmation suivante : « il y a une chance sur deux que le thème A soit évalué le jour de l'examen » ?
Partie B
Le thème A reste pour beaucoup d'étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors proposé pour travailler ce thème. Lors de l'examen, on a constaté que s'il y a un exercice portant sur le thème A:
- $30\,\%$ des étudiants n'ayant pas sµivi le stage ne traitent pas l'exercice ;
- $\dfrac{5}{6}$ des étudiants ayant suivi le stage l'ont traité.
On sait de plus que $20\,\%$ des étudiants participent au stage. Lors des résultats de l'examen, un étudiant s'exclame : « Je n'ai pas du tout traité le thème A ». Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage ? On arrondira le résultat à $0,001$ près.
Partie C
On suppose que la variable aléatoire $T$, associant la durée (exprimée en minutes) que consacre un étudiant de cette université pour la composition de cet examen, suit la loi normale d'espérance $\mu = 225$ et d'écart-type $\sigma$ où $\sigma > 0$. La probabilité qu'un étudiant finisse son examen en moins de $235$~minutes est de $0,98$. Déterminer une valeur approchée de $\sigma$ à $0,1$ près. On pourra, par exemple, introduire la variable aléatoire $ Z = \frac{T - 225}{\sigma}$.
Correction de l'exercice 3 (4 points)
Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. Des étudiants d'une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme.
Partie A
Sur les 34 sujets de l'examen déjà posés, 22 portaient sur le thème A. Peut-on rejeter au seuil de $95\,\%$ l'affirmation suivante : « il y a une chance sur deux que le thème A soit évalué le jour de l'examen » ?
On a $n=34\geq 30$, $p=0,5$ donc $np=17\geq 5$ et $n(1-p)=17\geq 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence du thème A à l’examen est donc
$\begin{align*} I_{34}&=\left[0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5 \times 0,5}{34}};0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5 \times 0,5}{34}}\right] \\
&\approx [0,331;0,669]
\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{22}{34}\approx 0,647 \in I_{34}$.
On ne peut donc pas rejeter, au seuil de $95\%$ l’affirmation faite.
$\quad$
Partie B
Le thème A reste pour beaucoup d'étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors proposé pour travailler ce thème. Lors de l'examen, on a constaté que s'il y a un exercice portant sur le thème A:
- $30\,\%$ des étudiants n'ayant pas sµivi le stage ne traitent pas l'exercice ;
- $\dfrac{5}{6}$ des étudiants ayant suivi le stage l'ont traité.
On sait de plus que $20\,\%$ des étudiants participent au stage. Lors des résultats de l'examen, un étudiant s'exclame : « Je n'ai pas du tout traité le thème A ». Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage ? On arrondira le résultat à $0,001$ près.
On appelle $S$ l’événement “l’étudiant a suivi le stage” et $A$ l’événement “l’élève a traité le thème A”. On obtient ainsi l’arbre pondéré suivant :
On veut calculer $p_{\overline{A}}(S)$
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p\left(\overline{A}\right)&=p\left(S\cap \overline{A}\right)+p\left(\overline{S}\cap \overline{A}\right) \\
&=0,2\times \dfrac{1}{6}+0,8\times 0,3 \\
&=\dfrac{41}{150}
\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} p_{\overline{A}}(S)&=\dfrac{p\left(\overline{A}\cap S\right)}{p\left(\overline{A}\right)} \\
&=\dfrac{0,2 \times \dfrac{1}{6}}{\dfrac{41}{150}} \\
&=\dfrac{5}{41} \\
&\approx 0,122
\end{align*}$
$\quad$
Partie C
On suppose que la variable aléatoire $T$, associant la durée (exprimée en minutes) que consacre un étudiant de cette université pour la composition de cet examen, suit la loi normale d'espérance $\mu = 225$ et d'écart-type $\sigma$ où $\sigma > 0$. La probabilité qu'un étudiant finisse son examen en moins de $235$~minutes est de $0,98$. Déterminer une valeur approchée de $\sigma$ à $0,1$ près. On pourra, par exemple, introduire la variable aléatoire $ Z = \frac{T - 225}{\sigma}$.
On a :
$\begin{align*} P(T\leq 235) = 0,98 &\iff P(T-225 \leq 235 -225) = 0,98 \\
&\iff P(T-225 \leq 10)=0,98 \\
&\iff P\left(\dfrac{T-225}{\sigma}\leq \dfrac{10}{\sigma}\right)=0,98
\end{align*}$
La variable aléatoire $Z=\dfrac{T-225}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
Or, d’après la calculatrice, $P(Z\leq k)=0,98$ si $ k\approx 2,05$
Par conséquent $\dfrac{10}{\sigma} \approx 2,05$ soit $\sigma \approx 4,9$.
$\quad$
Exercice 4 4 points
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $$\left\{\begin{array}{r !{=} l} u_0&0\\ u_{n+1}&\dfrac{1}{2 - u_n}\text{ pour tout entier naturel }\:n \geqslant 0. \end{array}\right.$$ On obtient à l'aide d'un tableur les premiers termes de cette suite: $$\begin{array} {|c|c|c|c| }\hline &A &B &C\\ \hline 1 & &u_n &u_n \\ \hline 2 &n &(\text{ en valeurs exactes })&(\text{ en valeurs approchées })\\ \hline 3 & 0 &0 &0\\ \hline 4 & 1 &1/2 &0,5 \\ \hline 5 & 2 &2/3 & 0,666666667 \\ \hline 6 & 3 &3/4 &0,75 \\ \hline 7 & 4 &4/5 &0,8 \\ \hline 8 & 5 &5/6 & 0,833333333 \\ \hline 9 & 6 &6/7 & 0,857142857 \\ \hline 10& 7 &7/8 &0,875 \\ \hline 11& 8 &8/9 & 0,888888889 \\ \hline 12& 9 &9/10 &0,9\\ \hline 13& 10 &10/11 & 0,909090909 \\ \hline \end{array}$$ Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
Correction de l'exercice 4 5 points
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $$\left\{\begin{array}{r !{=} l} u_0&0\\ u_{n+1}&\dfrac{1}{2 - u_n}\text{ pour tout entier naturel }\:n \geqslant 0. \end{array}\right.$$ On obtient à l'aide d'un tableur les premiers termes de cette suite: $$\begin{array} {|c|c|c|c| }\hline &A &B &C\\ \hline 1 & &u_n &u_n \\ \hline 2 &n &(\text{ en valeurs exactes })&(\text{ en valeurs approchées })\\ \hline 3 & 0 &0 &0\\ \hline 4 & 1 &1/2 &0,5 \\ \hline 5 & 2 &2/3 & 0,666666667 \\ \hline 6 & 3 &3/4 &0,75 \\ \hline 7 & 4 &4/5 &0,8 \\ \hline 8 & 5 &5/6 & 0,833333333 \\ \hline 9 & 6 &6/7 & 0,857142857 \\ \hline 10& 7 &7/8 &0,875 \\ \hline 11& 8 &8/9 & 0,888888889 \\ \hline 12& 9 &9/10 &0,9\\ \hline 13& 10 &10/11 & 0,909090909 \\ \hline \end{array}$$ Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
Montrons par récurrence sur $n$ que $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ pour tout entier naturel $n$.
Initialisation : $u_0=0$ et $\dfrac{0}{0+1}=0$. La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
$\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{2-u_n} \\
&=\dfrac{1}{2-\dfrac{n}{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{2(n+1)-n}{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{2n+2-n}{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{n+2}{n+1}} \\
&=\dfrac{n+1}{n+2}
\end{align*}$
La propriété est vraie au rang $n+1$.
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\dfrac{n}{n+1}$
D’après la limite des termes de plus haut degré, on a $\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{n}{n+1}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{n}=1$.
Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
5 points
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O~;~I,~ J,~ K)$. On considère les points \[\text{A}(-1~;~-1~;~0),\: \text{B}(6~;~-5~;~1),\: \text{C}(1~;~2~;~-2) \:\:\text{et S}(13~;~37~;~54).\]
-
- Justifier que les points A, B et C définissent bien un plan.
- Prouver que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\16\\29\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).
- En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
-
- Déterminer la nature du triangle ABC.
- Démontrer que la valeur exacte de l'aire du triangle ABC est, en unités d'aire, $\dfrac{\sqrt{1122}}{2}$.
-
- Prouver que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.
- La droite $(\Delta)$ perpendiculaire au plan (ABC) passant par le point S coupe le plan (ABC) en un point noté H. Déterminer les coordonnées du point H.
- Déterminer le volume du tétraèdre SABC.
On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par \[\dfrac{\text{ Aire de la base} \times \text{ hauteur} }{3}.\]
Correction de l'exercice de Géométrie 5 points
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O~;~I,~ J,~ K)$. On considère les points \[\text{A}(-1~;~-1~;~0),\: \text{B}(6~;~-5~;~1),\: \text{C}(1~;~2~;~-2) \:\:\text{et S}(13~;~37~;~54).\]
-
- Justifier que les points A, B et C définissent bien un plan. $\vec{AB}\begin{pmatrix}7\\-4\\1\end{pmatrix}$
- Prouver que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\16\\29\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC). $\vec{n}.\vec{AB}=5\times 7+16\times (-4)+29\times 1 =0$
- En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme :
$\vec{AC}\begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix}$
$\dfrac{7}{2} \neq \dfrac{-4}{3}$
Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires et définissent donc bien un plan.
$\quad$
$\vec{n}.\vec{AC}=5\times 2+16\times 3+29\times (-2) =0$
Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. C’est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
$5x+16y+29z+d=0$.
Le point $A(-1;-1;0)$ appartient au plan $(ABC)$.
Par conséquent $-5-16+d=0 \iff d=21$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $5x+16y+29z+21=0$. -
- Déterminer la nature du triangle ABC. $\vec{AB}.\vec{AC}=14-12-2=0$.
- Démontrer que la valeur exacte de l'aire du triangle ABC est, en unités d'aire, $\dfrac{\sqrt{1122}}{2}$. L’aire du triangle $ABC$ est donc :
Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
Regardons s’il est également isocèle.
$AB=\sqrt{49+16+1}=\sqrt{66}$
$AC=\sqrt{4+9+4}=\sqrt{17}\neq AB$.
Le triangle $ABC$ n’est donc pas isocèle.
$\quad$
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AB\times AC}{2}\\
&=\dfrac{\sqrt{66}\times \sqrt{17}}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{1~122}}{2}
\end{align*}$
$\quad$ -
- Prouver que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires. Regardons si les coordonnées du point $S(13;37;54)$ vérifient l’équation cartésienne du plan $(ABC)$.
- La droite $(\Delta)$ perpendiculaire au plan (ABC) passant par le point S coupe le plan (ABC) en un point noté H. Déterminer les coordonnées du point H. La droite $(\Delta)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$. Le vecteur $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$.
$5\times 13+16\times 37+29\times 54+21=2~244\neq 0$.
Le point $S$ n’appartient donc pas au plan $(ABC)$ : les points $A,B,C$ et $S$ ne sont pas coplanaires.
$\quad$
Un représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ est donc :
$\begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \qquad t\in \mathbb R \\z=54+29t\end{cases}$
Les coordonnées du point $H$, point d’intersection du plan $(ABC)$ et de la droite $(\Delta)$ sont donc solution du système :
$\begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\5x+16y+29z+21=0\end{cases}$
$\iff \begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\5(13+5t)+16(37+16t)+29(54+29t)+21=0\end{cases}$
$\iff \begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\65+25t+592+256t+1~566+841t+21=0\end{cases} $
$\iff \begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\1~122t+2~244=0\end{cases} $
$\iff \begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\t=-2\end{cases} $
$\iff \begin{cases} t=-2\\x=3\\y=5 \\z=-4\end{cases} $
Le point $H$ a donc pour coordonnées $(3;5;-4)$.
$\quad$ - Déterminer le volume du tétraèdre SABC.
On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par \[\dfrac{\text{ Aire de la base} \times \text{ hauteur} }{3}.\] Calculons tout d’abord $SH=\sqrt{(3-13)^2+(37-5)^2+(-4-54)^2}=\sqrt{4~488}$
Le volume du tétraèdre $SABC$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{\mathscr{A}\times SH}{3} \\
&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{1122}}{2}\times \sqrt{4~488}}{3}\\
&=374
\end{align*}$
$\quad$
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