Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2013

 

Exercice 4 5 points

Commun n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite \(\left(z_n\right)\) à termes complexes définie par \(z_0 = 1 + \text{i}\) et, pour tout entier naturel \(n\), par
\[z_{n+1} = \dfrac{z_n + \left|z_n\right|}{3}.\]
Pour tout entier naturel \(n\), on pose: \(z_n = a_n + \text{i}b_n\), où \(a_n\) est la partie réelle de \(z_n\) et \(b_n\) est la partie imaginaire de \(z_n\).
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites \(\left(a_n\right)\) et \(\left(b_n\right)\).

Partie A

  1. Donner \(a_0\) et \(b_0\).
  2. Calculer \(z_1\), puis en déduire que \(a_1=\dfrac{1 + \sqrt{2}}{3}\) et \(b_1 = \dfrac13\).
  3. On considère l'algorithme suivant: \[ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}& A \text{ et } B \text{ sont des nombres réels}\\ & K \text{ et } N \text{ sont des nombres entiers}\\ \text{ Initialisation :}& \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } 1\\ & \text{ Affecter à } B \text{ la valeur } 1\\ \text{Traitement :}& \\ \text{Entrer la valeur de } N&
    \text{Pour } K \text{ variant de 1 à } N\\ & \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } \dfrac{A+\sqrt{A^2+B^2}}{3} \\ & \text{ Affecter à } B \text{ la valeur } \dfrac{B}{3}\\ &\text{Fin du Pour}\\  & \text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} \]
    1. On exécute cet algorithme en saisissant \(N=2\). Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à \(10^{-4}\) près).
    2. \[\begin{array}{|c|c|c|} \hline K & A & B\\\hline 1& & \\\hline 2& & \\\hline \end{array}\]
    3. Pour un nombre \(N\) donné, à quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?

Partie B

  1. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(z_{n+1}\) en fonction de \(a_n\) et \(b_n\).
    En déduire l'expression de \(a_{n+1}\) en fonction de \(a_n\) et \(b_n\), et l'expression de \(b_{n+1}\) en fonction de \(a_n\) et \(b_n\).
  2. Quelle est la nature de la suite \(\left(b_n \right)\) ? En déduire l'expression de \(b_n\) en fonction de \(n\), et déterminer la limite de \(\left(b_n \right)\).
    1. On rappelle que pour tous nombres complexes \(z\) et \(z'\):
      \[\left|z + z'\right|\leqslant |z| + \left|z'\right|\qquad\text{(inégalité triangulaire)}.\]
      Montrer que pour tout entier naturel \(n\),
      \[\left|z_{n+1}\right|\leqslant\dfrac{2\left|z_n\right|}{3}.\]
    2. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(u_n= \left|z_n\right|\). Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\),
      \[u_n\leqslant \left(\frac23\right)^n\sqrt{2}.\]
      En déduire que la suite\index{suite} \(\left(u_n \right)\) converge vers une limite que l'on déterminera.
    3. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(\left|a_n\right|\leqslant u_n\). En déduire que la suite \(\left(a_n \right)\) converge vers une limite que l'on déterminera.

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