Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2013

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Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $E$ l'ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre $0$ et $26$.

On note $A$ l'ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l'alphabet et un séparateur entre deux mots, noté «$\star$ » considéré comme un caractère.

Pour coder les éléments de $A$, on procède de la façon suivante :
Premièrement : On associe à chacune des lettres de l'alphabet, rangées par ordre alphabétique, un nombre entier naturel compris entre 0 et 25, rangés par ordre croissant. On a donc $a \to 0,\: b \to 1, \ldots z \to 25$.

On associe au séparateur «$\star$ » le nombre 26.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a&b&c&d&e&f&g&h&i&j&k&l&m&n\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\ \hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline o&p&q&r&s&t&u&v&w&x&y&z&\star \\ \hline 14&15&13&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26 \\ \hline \end{array}$$
On dit que $a$ a pour rang $0, b$ a pour rang 1, ... , $z$ a pour rang $25$ et le séparateur «$\star$ » a pour rang $26$.

Deuxièmement : à chaque élément $x$ de $E$, l'application $g$ associe le reste de la division euclidienne de $4x + 3$ par $27$.

On remarquera que pour tout $x$ de $E,\: g(x)$ appartient à $E$.

Troisièmement : Le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang $g(x)$. Exemple : $s \to 18, \quad g(18) = 21$ et $21 \to v$. Donc la lettre $s$ est remplacée lors du codage par la lettre $v$.

  1. Trouver tous les entiers $x$ de $E$ tels que $g(x) = x$ c'est-à-dire invariants par $g$.
    En déduire les caractères invariants dans ce codage.
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $x$ appartenant à $E$ et tout entier naturel $y$ appartenant à $E$, si $y \equiv 4x + 3$ modulo 27 alors $x \equiv 7y + 6$ modulo 27. En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.
  3. Proposer une méthode de décodage.
  4. Décoder le mot «$vfv$ ».
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