Bac S 2013 Antilles Guyane : Suites

oui
non
S
Année 2013
Antilles Guyanne
Suites

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les deux parties sont indépendantes.
Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large. Sa démarche est très particulière :

  • Soit il avance d'un pas tout droit ;
  • Soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ;
  • Soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit).

On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables.
L'objectif de cet exercice est d'estimer la probabilité \(p\) de l'évènement \(S\) «Tom traverse le pont » c'est-à-dire «Tom n'est pas tombé dans l'eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements ».
Partie A : modélisation et simulation
On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d'un repère orthonormé (O , I, J) comme l'indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées (0 ; 0) au début de la traversée. On note \((x ; y)\) les coordonnées de la position de Tom après \(x\) déplacements.
Figure

On a écrit l'algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de \(x\) déplacements :

Antilles Septembre 2013 Ex4
\[\begin{array}{|l|}\hline x, y, n \text{ sont des entiers}\\ \text{ Affecter à } x \text{ la valeur 0}\\ \text{ Affecter à } y \text{ la valeur 0}\\ \text{ Tant que } y \geqslant - 1 \text{ et } y \leqslant 1 \text{ et } x \leqslant 9\\ \hspace{1.5cm}\text{ Affecter à } n \text{ une valeur choisie au hasard entre - 1, 0 et 1}\\ \hspace{1.5cm}\text{ Affecter à } y \text{ la valeur } y + n\\ \hspace{1.5cm}\text{ Affecter à } x \text{ la valeur } x + 1 \\ \text{ Fin tant que } \\ \text{ Afficher } \ll \text{ la position de Tom est } (x\; ;\;y) \gg \\ \hline \end{array}\]

  1. On donne les couples suivants : \((-1 ; 1)\) ; (10 ; 0); (2 ; 4) ; (10 ; 2). Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse.
  2. Modifier cet algorithme pour qu'à la place de «la position de Tom est \((x ; y)\) », il affiche finalement «Tom a réussi la traversée » ou «Tom est tombé ».


Partie B
Pour tout \(n\) entier naturel compris entre 0 et 10, on note :
\(A_{n}\) l'évènement «après \(n\) déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée \(- 1\) ».
\(B_{n}\) l'évènement «après \(n\) déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 0 ».
\(C_{n}\) l'évènement «après \(n\) déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 1 ». On note \(a_{n}, b_{n}, c_{n}\) les probabilités respectives des évènements \(A_{n}, B_{n}, C_{n}\).

  1. Justifier que \(a_{0} = 0, b_{0} = 1, c_{0} = 0\).
  2. Montrer que pour tout entier naturel \(n\) compris entre \(0\) et \(9\), on a \[\left\{\begin{array}{l c l} a_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n}}{3}\\ b_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n} + c_{n}}{3} \end{array}\right.\]
    On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
  3. Calculer les probabilités \(p\left(A_{1}\right),\: p\left(B_{1}\right)\) et \(p\left(C_{1}\right)\).
  4. Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements.
  5. À l'aide d'un tableur, on a obtenu la feuille de calcul ci-contre qui donne des valeurs approchées de \(a_{n},\: b_{n},\: c_{n}\) pour \(n\) compris entre 0 et 10. Donner une valeur approchée à \(0,001\) près de la probabilité que Tom traverse le pont (on pourra s'aider du tableau ci-dessous). \[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline n &a_{n} &b_{n} &c_{n} \\ \hline 0 &0 &1 &0\\ \hline 1 &0,333333 &0,333333 &0,333333\\ \hline 2 &0,222222 &0,333333 &0,222222\\ \hline 3 &0,185185 &0,259259 &0,185185\\ \hline 4 &0,148148 &0,209877 &0,148148\\ \hline 5 &0,119342 &0,168724 &0,119342\\ \hline 6 &0,096022 &0,135802 &0,096022\\ \hline 7 &0,077275 &0,109282 &0,077275\\ \hline 8 &0,062186 &0,087944 &0,062186\\ \hline 9 &0,050043 &0,070772 &0,050043\\ \hline 10 &0,040272 &0,056953 &0,040272\\ \hline \end{array} \]

 

 
 

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les deux parties sont indépendantes.
Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large. Sa démarche est très particulière :

  • Soit il avance d'un pas tout droit ;
  • Soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ;
  • Soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit).

On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables.
L'objectif de cet exercice est d'estimer la probabilité \(p\) de l'évènement \(S\) «Tom traverse le pont » c'est-à-dire «Tom n'est pas tombé dans l'eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements ».
Partie A : modélisation et simulation
On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d'un repère orthonormé (O , I, J) comme l'indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées (0 ; 0) au début de la traversée. On note \((x ; y)\) les coordonnées de la position de Tom après \(x\) déplacements.
Figure

On a écrit l'algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de \(x\) déplacements :

Antilles Septembre 2013 Ex4
\[\begin{array}{|l|}\hline x, y, n \text{ sont des entiers}\\ \text{ Affecter à } x \text{ la valeur 0}\\ \text{ Affecter à } y \text{ la valeur 0}\\ \text{ Tant que } y \geqslant - 1 \text{ et } y \leqslant 1 \text{ et } x \leqslant 9\\ \hspace{1.5cm}\text{ Affecter à } n \text{ une valeur choisie au hasard entre - 1, 0 et 1}\\ \hspace{1.5cm}\text{ Affecter à } y \text{ la valeur } y + n\\ \hspace{1.5cm}\text{ Affecter à } x \text{ la valeur } x + 1 \\ \text{ Fin tant que } \\ \text{ Afficher } \ll \text{ la position de Tom est } (x\; ;\;y) \gg \\ \hline \end{array}\]

  1. On donne les couples suivants : \((-1 ; 1)\) ; (10 ; 0); (2 ; 4) ; (10 ; 2). Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse.
  2. L’algorithme nous indique que nous sortons de la boucle quand \(y < -1\),\(y > 1\) ou \(x>9\).
    La variable \(x\) est initialisée à \(0\) et est augmentée de \(1\) à chaque tour de boucle. Elle ne prend donc que des valeurs positives.
    \((-1;1)\) ne peut donc pas être obtenu.
    \((10;0)\) correspond au cas où toutes les valeurs de \(y\) sont comprises entre \(-1\) et \(1\). On sort donc de la boucle du fait de la condition sur \(x\). Ce couple peut être obtenu.
    \((2;4)\) ne peut être obtenu car la plus grande valeur que peut prendre \(y\) est \(3\) (et on sort de la boucle à ce moment là!).
    \((10;2)\) peut être obtenu en étant parti précédemment su couple \((9;1)\) et ayant choisi \(1\) pour \(n\).
  3. Modifier cet algorithme pour qu'à la place de «la position de Tom est \((x ; y)\) », il affiche finalement «Tom a réussi la traversée » ou «Tom est tombé ».
  4. Si \((y \ge -1 \text{ et } y \le 1)\)
    \(\qquad\) alors Afficher « Tom a réussi la traversée ».
    \(\qquad\) sinon Afficher « Tom est tombé ».
    Fin Si


Partie B
Pour tout \(n\) entier naturel compris entre 0 et 10, on note :
\(A_{n}\) l'évènement «après \(n\) déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée \(- 1\) ».
\(B_{n}\) l'évènement «après \(n\) déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 0 ».
\(C_{n}\) l'évènement «après \(n\) déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 1 ». On note \(a_{n}, b_{n}, c_{n}\) les probabilités respectives des évènements \(A_{n}, B_{n}, C_{n}\).

  1. Justifier que \(a_{0} = 0, b_{0} = 1, c_{0} = 0\).
  2. Quand \(n = 0\), Tom est au point de coordonnées \((0;0)\).
    Donc \(a_0 = 0\), \(b_0 = 1\) et \(c_0 = 0\).
  3. Montrer que pour tout entier naturel \(n\) compris entre \(0\) et \(9\), on a \[\left\{\begin{array}{l c l} a_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n}}{3}\\ b_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n} + c_{n}}{3} \end{array}\right.\]
    On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
  4. Si Tom se trouve sur un point d’ordonnée \(-1\) après \((n+1)\) déplacements, c’est qu’il vient soit d’un point d’ordonnée \(0\) (c’est-à-dire \(B_n\)) ou d’ordonnée \(-1\) (c’est-à-dire \(A_n\)).
    Les trois types de déplacements sont équiprobables donc \(a_{n+1} = \dfrac{a_n+b_n}{3}\).
    Si Tom se trouve sur un point d’ordonnée \(0\) après \((n+1)\) déplacements, c’est qu’il vient d’un point d’ordonnée \(-1\) (\(A_n\)), d’ordonnée \(0\) (\(B_n\)) ou d’ordonnée \(1\) (\(C_n\)).
    Les trois types de déplacements sont équiprobables donc \(b_{n+1} = \dfrac{a_n+b_n+c_n}{3}\).
    Pour la même raison que pour \(a_{n+1}\), on a \(c_{n+1} = \dfrac{c_n+b_n}{3}\).
  5. Calculer les probabilités \(p\left(A_{1}\right),\: p\left(B_{1}\right)\) et \(p\left(C_{1}\right)\).
  6. \(p(A_1) = \dfrac{0+1}{3} = \dfrac{1}{3}\) et \(p(B_1) = \dfrac{0 + 1 0}{3}=\dfrac{1}{3}\).
    Au premier déplacement, Tom ne peut pas tomber donc \(p(C_1) = 1 – p(A_1) – p(B_1) = \dfrac{1}{3}\).
  7. Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements.
  8. \(p(A_2) = \dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}{3} = \dfrac{2}{9}\)
    \(p(B_2) = \dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}{3} = \dfrac{1}{3}\)
    \(p(C_2) = \dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}{3} = \dfrac{2}{9}\).
  9. À l'aide d'un tableur, on a obtenu la feuille de calcul ci-contre qui donne des valeurs approchées de \(a_{n},\: b_{n},\: c_{n}\) pour \(n\) compris entre 0 et 10. Donner une valeur approchée à \(0,001\) près de la probabilité que Tom traverse le pont (on pourra s'aider du tableau ci-dessous). \[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline n &a_{n} &b_{n} &c_{n} \\ \hline 0 &0 &1 &0\\ \hline 1 &0,333333 &0,333333 &0,333333\\ \hline 2 &0,222222 &0,333333 &0,222222\\ \hline 3 &0,185185 &0,259259 &0,185185\\ \hline 4 &0,148148 &0,209877 &0,148148\\ \hline 5 &0,119342 &0,168724 &0,119342\\ \hline 6 &0,096022 &0,135802 &0,096022\\ \hline 7 &0,077275 &0,109282 &0,077275\\ \hline 8 &0,062186 &0,087944 &0,062186\\ \hline 9 &0,050043 &0,070772 &0,050043\\ \hline 10 &0,040272 &0,056953 &0,040272\\ \hline \end{array} \]
  10. Les trois événements \(A_{10}\), \(B_{10}\) et \(C_{10}\) sont disjoints donc :
    \[p(A_{10} \cup B_{10} \cup C_{10}) = a_{10}+b_{10}+c_{10} \approx 0,137\]

 

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