DM 01 TS4

Quelques révisions sur les fonctions
Exercice 1

Une inéquation ...

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : \[\dfrac{2x+5}{3x+5}\geqslant \dfrac{x-1}{5x-1}\]
Exercice 2

Une fonction ...

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x)=x+1+\dfrac{4}{x^2}\]. On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$.
  1. Calculer $f'(x)$ et l'écrire sous forme de fraction rationnelle.
  2. Vérifier que $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
  3. En déduire la factorisation de $f'(x)$.
  4. En déduire les variations de $f$.
  5. On note $\mathscr{D}$ la droite d'équation $y=x+1$. En étudiant le signe de $f(x)-(x+1)$, trouver la position relative de $\mathscr{C}$ et de $\mathscr{D}$.
  6. Construire la droite $\mathscr{D}$ et la courbe représentative de $f$.
Exercice 3

Une fonction auxiliaire

  1. Soit $g$ la fonction définie sur $]-4~;~+\infty[$ par : \[g(x)=x^3+6x^2+1.\]
    1. Déterminer les variaions de $g$ sur son ensemble de définition.
    2. En déduire le signe de $g(x)$.
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $]-4~;~+\infty[$ par \[f(x)=\dfrac{x^3-2}{x+4}\].
    1. Déterminer $f'(x)$.
    2. En déduire les variations de $f$ ; dresser le tableau de variation de $f$.