Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2015

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Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats


Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie et dérivable sur l'ensemble $\mathbb R$ des nombres réels par \[f_n(x) = x^2 \text{e}^{- 2nx}.\] On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal. On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\: \text{d}x$.

Partie A : Étude de la fonction $f_1$

 

  1. La fonction $f_1$ est définie sur $\mathbb R$ par $f_1(x) = x^2\text{e}^{-2x}$. On admet que $f_1$ est dérivable sur $\mathbb R$ et on note $f_1'$ sa dérivée.
    1. Justifier que pour tout réel $x,\: f_1'(x) = 2x\text{e}^{-2x}(1 - x)$.
    2. Étudier les variations de la fonction $f_1$ sur $\mathbb R$.
    3. Déterminer la limite de $f_1$ en $- \infty$.
    4. Vérifier que pour tout réel $x,\: f_1(x) = \left(\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)^2$. En déduire la limite de $f_1$ en $+ \infty$.
  2. En utilisant un système de calcul formel, on trouve qu'une primitive $F_1$ de la fonction $f_1$ est donnée par $F_1(x) = - \text{e}^{-2x}\left(\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{4}\right)$. En déduire la valeur exacte de $I_1$.

 

Partie B : Étude de la suite $\left(I_n\right)$

 

  1. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    1. Interpréter graphiquement la quantité $I_n$.
    2. Émettre alors une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite $\left(I_n\right)$. Expliciter la démarche qui a mené à cette conjecture.
    1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0 ; 1], \[f_{n+1}(x) = \text{e}^{-2x}f_n(x).\]
    2. En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0 ; 1], \[f_{n+1}(x) \leqslant f_n(x).\]
    3. Déterminer alors le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$.
  2. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    1. Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0 ; 1], \[0 \leqslant f_n(x) \leqslant \text{e}^{-2nx}.\]
    2. En déduire un encadrement de la suite $\left(I_n\right)$, puis sa limite.
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