Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2015 - Exercice 2

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Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

 

Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d'un mois.

• 40% des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d'orange ;
• 25% des bouteilles de jus d'orange vendues possèdent l'appellation « pur jus ».

Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d'orange, la proportion des bouteilles de « pur jus » est notée $x$, où $x$ est un réel de l'intervalle [0 ; 1]. Par ailleurs, 20% des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation « pur jus ».
On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse.
On définit les évènements suivants :
$R$ : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d'orange ;
$J$ : la bouteille prélevée est une bouteille de « pur jus ».

Partie A

 

1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
2. Déterminer la valeur exacte de $x$.
3. Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de « pur jus ». Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d'orange.

 

Partie B

Afin d'avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot des $500$ dernières bouteilles de jus de fruits vendues.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de « pur jus »  dans ce lot.
On admettra que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces $500$ bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec remise.

1. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. On en donnera les paramètres.
2. Déterminer la probabilité pour qu'au moins 75 bouteilles de cet échantillon de $500$ bouteilles soient de « pur jus ». On arrondira le résultat au millième.

Partie C

Un fournisseur assure que 90% des bouteilles de sa production de pur jus d'orange contiennent moins de 2% de pulpe. Le service qualité du supermarché prélève un échantillon de 900 bouteilles afin de vérifier cette affirmation. Sur cet échantillon, $766$ bouteilles présentent moins de 2% de pulpe.

1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de bouteilles contenant moins de 2% de pulpe au seuil de 95%.
2. Que penser de l'affirmation du fournisseur ?