Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2013 - Spécialité
Spécialité 5 points
Une espèce d'oiseaux ne vit que sur deux îles A et B d'un archipel.
Au début de l'année 2013, 20 millions d'oiseaux de cette espèce sont présents sur l'île A et 10 millions sur l'île B.
Des observations sur plusieurs années ont permis aux ornithologues d'estimer que, compte tenu des naissances, décès, et migrations entre les deux îles, on retrouve au début de chaque année les proportions suivantes :
- sur l'île A : 80 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et 30 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente;
- sur l'île B : 20 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et 70 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente.
Pour tout entier naturel $n$, on note $a_{n}$ (respectivement $b_{n}$) le nombre d' oiseaux (en millions) présents sur l'île A (respectivement B) au début de l'année $(2013 + n)$.
Partie A - Algorithmique et conjectures
On donne ci-dessous un algorithme qui doit afficher le nombre d'oiseaux vivant sur chacune des deux iles, pour chaque année comprise entre 2013 et une année choisie par l'utilisateur.
$$ \begin{array}{|c|} \hline \text{ Début de l'algorithme} \\ \text{ Lire } n\\ \text{ Affecter à } a \text{ la valeur 20}\\ \text{ Affecter à } b \text{ la valeur 10}\\ \text{ Affecter à } i \text{ la valeur 2013}\\ \text{ Afficher } i\\ \text{ Afficher } a\\ \text{ Afficher } b\\ \text{Tant que } i\leq n-1 \text{ faire }\\ \text{ Affecter à }c \text{ la valeur } (0,8a + 0,3b)\\ \text{ Affecter à } b \text{ la valeur } (0,2a + 0,7 b)\\ \text{ Affecter à } a \text{ la valeur } c\\ \text{ Fin du Tant que }\\ \text{ Fin de l 'algorithme} \\ \hline \end{array}$$
- Cet algorithme comporte des oublis dans le traitement. Repérer ces oublis et les corriger.
- On donne ci-dessous une copie d'écran des résultats obtenus après avoir corrigé l'algorithme précédent dans un logiciel d'algorithmique, l'utilisateur avant choisi l'année 2020.
$$ \begin{array}{|c|} \hline \star\star\star \text{ Algorithme lancé } \star\star\star\\ \text{ En l'année } 2013, a \text{ prend la valeur } 20 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 10\\ \text{ En l'année } 2014, a \text{ prend la valeur } 19 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11\\ \text{ En l'année } 2015, a \text{ prend la valeur } 18,5 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,5\\ \text{ En l'année } 2016, a \text{ prend la valeur } 18,25 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,75\\ \text{ En l'année } 2017, a \text{ prend la valeur } 18,125 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,875\\ \text{ En l'année } 2018. a \text{ prend la valeur } 18,0425 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,9375 \\ \text{ En l'année } 2019, a \text{ prend la valeur } 18,03125 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,96875 \\ \text{ En l'année } 2020, a \text{ prend la valeur } 18,015625 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,984375 \\ \star\star\star \text{ Algorithme terminé } \star\star\star \\ \hline \end{array}$$ Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concernant le sens de variation et la convergence des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$.
Partie B - Étude mathématique
On note $U_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.
- Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=MU_{n}$, où $M$ est une matrice carrée d'ordre 2 que l'on déterminera.
- À l'aide d'un raisonnement par récurrence, justifier que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$ : \[M^{n}= \begin{pmatrix} 0,6 + 0,4\times 0,5^{n}&0,6 - 0,6\times 0,5^{n}\\ 0,4 - 0,4\times 0,5^{n}&0,4 + 0,6\times 0,5^{n} \end{pmatrix}.\]
On ne détaillera le calcul que pour le premier des coefficients de la matrice $M^{n}$. - Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$.
- Avec ce modèle, peut-on dire qu'au bout d'un grand nombre d'années, le nombre d'oiseaux sur l'île A va se stabiliser? Si oui, préciser vers quelle valeur.
On admet alors que $U_{n}=M^{n}U_{0}$ pour tout entier naturel $n\geqslant 1$.
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