Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2013 - Exercice 3
Exercice 3 5 points
On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 1]$ par :
\[g(x) = 1 + \mathrm{e}^{-x}.\]
On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 1]$, $g(x) >0$.
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal, et $\mathscr{D}$ le domaine plan compris d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$, d'autre part entre les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1 $.
La courbe $\mathscr{C}$ et le domaine $\mathscr{D}$ sont représentés ci-dessous.
Le but de cet exercice est de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire, d'abord par une droite parallèle à l'axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'axe des abscisses (partie B).
Partie A
Soit $a$ un réel tel que $0\leqslant a\leqslant 1$. On note $\mathscr{A}_{1}$ l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l'axe $(Ox)$,les droites d'équation $x = 0$ et $x =a$ , puis $\mathscr{A}_{2}$ celle du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, $(Ox)$ et les droites d'équation $x = a$ et $x = 1$. $\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont exprimées en unités d'aire.
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- Démontrer que $\mathscr{A}_{1}= a - \mathrm{e}^{-a} + 1$.
- Exprimer $\mathscr{A}_{2}$ en fonction de $a$.
- Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 1]$ par :
\[f(x) =2x - 2\,\mathrm{e}^{- x} + \dfrac{1}{\mathrm{e}}.\]
- Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 1]$. On précisera les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(1)$.
- Démontrer que la fonction $f$ s'annule une fois et une seule sur l'intervalle $[0 ; 1]$. en un réel $\alpha$. Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
- En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel $a$ pour lequel les aires $\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont égales.
Partie B
Soit $b$ un réel positif.
Dans cette partie, on se propose de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire par la droite d'équation $y=b$. On admet qu'il existe un unique réel $b$ positif solution.
- Justifier l'inégalité $b<1 + \dfrac{1}{\mathrm{e}}$. On pourra utiliser un argument graphique.
- Déterminer la valeur exacte du réel $b$.
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