Bac STI2D Antilles-Guyane 16 juin 2016 - Correction Exercice 2

Correction de l'exercice 2 (7 points)

Fonction exponentielle, calcul intégral

Sur le graphique ci-dessous, $\mathcal{C}$ est la courbe représentative, dans le repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$, d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb R$.

Partie A - Étude graphique

La droite $T$ est tangente à $\mathcal{C}$ au point A(2,5 ; 1,5) et d'ordonnée à l'origine 2,75. L'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$.
Déterminer graphiquement et indiquer sur votre copie :

1. $f(1)$ ;
$f(1)=0$
2. $f'(2,5)$ ;
$f'(2,5)$ est le coefficient directeur de la droite $T$, tangente à $\mathcal{C}$ au point A(2,5 ; 1,5):
Or $T= (AB)$ où A(2,5 ; 1,5) et B( 0;2,75) car l'ordonnée à l'origine de $T$ est 2,75. $$\begin{array}{rl} f'(2,5)& = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\ &\\ & = \dfrac{2,75-1,5}{0-2,5}\\ &= \dfrac{1,25}{-2,5}\\ &= -\dfrac{1,25}{ 1,25\times 2}\\ &=-0,5 \end{array}$$ $f'(2,5)=-0,5$
3. Une équation de la tangente $T$ ;
La tangente $T$ a pour coefficient directeur $f'(2,5)=-0,5$ et pour ordonnée à l'origine 2,75 d'où :
La tangente $T$ a pour équation $y=-0,5⁢x+2,75$;
4. $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x)$.
L'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$ donc $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x)=0$

 

Partie B - Modélisation

On admet qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que : \[\text{pour tout réel }\:x,\: \:f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x+2,5}.\]

1. Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
$f$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables.
$f=u v ,$ d'où $f'=u'v+v'u $ avec pour tout réel $x$, dans $ \mathbb R$ :
$\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =(ax + b) \\ v(x)~ = \text{e}^{-x+2,5}\end{array}\right.$ ainsi : $\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ = a \\ v'(x)~ = -\text{e}^{-x+2,5}\end{array}\right.$ On a utilisé $(\text{e}^{u})'=u'\text{e}^{u}$ $$ \begin{array}{cl} f'(x)&= a\text{e}^{-x+2,5}+(ax+b)(-\text{e}^{-x+2,5}) \\ & =\text{e}^{-x+2,5}(a-(ax+b)) \\ &= (-ax+a-b)\text{e}^{-x+2,5} \end{array} $$
2. Exprimer en fonction des réels $a$ et $b$ les nombres suivants : \[f(1) \quad ;\quad f'(2,5).\]
$$\begin{array}{rl} f(1) &= (a\times 1 + b)\text{e}^{-1+2,5} \\ & =(a + b)\text{e}^{1,5}\\ \end{array}$$ $$\begin{array}{rl} f'(2,5) &= (-a\times 2,5 +a-b)\text{e}^{-2,5+2,5}\\ & =(-1,5a -b)\text{e}^{0}\\ &= -1,5a -b \end{array}$$
3. Déduire des questions précédentes un système d'équations vérifiées par $a$ et $b$.
$a$ et $b$ vérifient donc le système : $$\left\lbrace \begin{array}{l} (a + b)\text{e}^{1,5}= 0~\\ ~ -1,5a -b= -0,5 \end{array} \right. $$
4. Résoudre ce système et en déduire l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
$$\left\lbrace \begin{array}{l} (a + b)\text{e}^{1,5}= 0~\\ ~ -1,5a -b= -0,5 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l} a+b=0~\\ ~ 3a+2b =1 \end{array} \right.\iff \left\lbrace \begin{array}{l} b=-a~\\ ~ a=1 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l} a=1~\\ ~ b=-1 \end{array} \right. $$ Ainsi $f(x) = ( x -1)\text{e}^{-x+2,5}$

 

Partie C - Étude algébrique

On admet que pour tout réel $x,\: f(x) = (x - 1)\text{e}^{-x+2,5}$.

1. Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty}~(-x+2,5)=+\infty \\ \lim\limits_{t \to +\infty}~ \text{e}^{t}=+\infty \end{array}\right\}\; \text{ par composée }\lim\limits_{x \to -\infty}~\text{e}^{-x+2,5}=+\infty $
$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty}~\text{e}^{-x+2,5}=+\infty\\ \lim\limits_{x \to -\infty}~x-1=-\infty \end{array}\right\} \quad \text{ Par produit } \lim\limits_{x \to -\infty}~f(x)=-\infty$
2. 1. Montrer que pour tout réel $x$, \[f(x) = \text{e}^{2,5}\left(\dfrac{x}{\text{e}^x} - \dfrac{1}{\text{e}^x}\right).\]
   $$\begin{array}{rll} \text{e}^{2,5}\left(\dfrac{x}{\text{e}^x} - \dfrac{1}{\text{e}^x} \right) & = \text{e}^{2,5}\left( x \text{e}^{-x} - \text{e}^{-x} \right) &\text{ car } \dfrac{1}{\text{e}^x} = \text{e}^{-x} \\ & = \text{e}^{2,5} \text{e}^{-x}( x - 1)& \text{ on factorise par } \text{e}^{-x} \\ &= (x-1)\text{e}^{-x+2,5}&\text{ car } \text{e}^a\times \text{e}^b = \text{e}^{a+b}\\ &=f(x)& \end{array}$$
   2. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
   D'après une limite de référence :$ \lim\limits_{x \to +\infty}~\dfrac{\text{e}^x}{x} =+\infty$ donc par inverse $\lim\limits_{x \to +\infty}~\dfrac{x}{\text{e}^x} = 0$
   $ \lim\limits_{x \to +\infty}~ \text{e}^x =+\infty$ donc par inverse $\lim\limits_{x \to +\infty}~\dfrac{1}{\text{e}^x} = 0$
   $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}~\dfrac{x}{\text{e}^x} = 0\\ \lim\limits_{x \to +\infty}~\dfrac{1}{\text{e}^x} =0 \end{array}\right\} \quad \text{ Par somme } \lim\limits_{x \to +\infty}~\left(\dfrac{x}{\text{e}^x} - \dfrac{1}{\text{e}^x} \right)=0$ puis en multipliant par par $\text{e}^{2,5}$ $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0$
3. 1. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
   $f$ est dérivable comme somme de deux fonctions dérivables. $f=u v ,$ d'où $f'=u'v+v'u $ avec pour tout réel $x$, dans $ \mathbb R$ : $\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =(x-1) \\ v(x)~ = \text{e}^{-x+2,5}\end{array}\right.$ ainsi :
   $\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ = 1 \\ v'(x)~ = -\text{e}^{-x+2,5}\end{array}\right.$ On a utilisé $(\text{e}^{u})'=u'\text{e}^{u}$ $$ \begin{array}{cl} f'(x)&= 1\text{e}^{-x+2,5}+(x-1)(-\text{e}^{-x+2,5}) \\ & =\text{e}^{-x+2,5}(1-(x-1)) \\ &= (-x+2)\text{e}^{-x+2,5} \end{array} $$
   2. Étudier le signe de $f'$ et en déduire le tableau des variations de la fonction $f$ en faisant figurer les limites trouvées précédemment.
   La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb R$, on déduit que $f'(x)$ a le signe de $-x+2$, d'où le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb R$ :
   

 

Partie D - Application

On souhaite déterminer l'aire $S$ en unité d'aire de la surface d'une des faces principales du boîtier plastique de l'appareil auditif schématisé ci-dessous.
Une modélisation mathématique a permis de représenter cette surface.

Dans le plan muni du repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$, cette surface correspond à la partie du plan limitée par :

• l'axe des abscisses;
• les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2,5$ ;
• la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ étudiée précédemment ;
• la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$ définie par: pour tout réel $x,$ $ g(x) = -2x^2 + 12x - 16$.
  
  
  1. Sur l'annexe fournie, hachurer la surface décrite précédemment. Pour déterminer l'aire $S$ de cette surface, on décompose le calcul en deux parties.
  
  2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante : $I = \displaystyle\int_2^{2,5} g(x)\:\text{d}x$.
  $$\begin{array}{rl} I = \displaystyle\int_2^{2,5} g(x)\:\text{d}x & = G(2,5)-G(2) \text{ où } G \text{ désigne une primitive de } g \\ & =\left [ -2\dfrac{x^3}{3} + 6x ^2- 16x\right ]_{2}^{2,5} \\ &= -\dfrac{2}{3}\left( \dfrac{5}{2} \right)^3+6\left( \dfrac{5}{2} \right)^2-16\left( \dfrac{5}{2} \right) -\left(-\dfrac{2}{3}\left( 2 \right)^3+6\left( 2 \right)^2-16\left( 2 \right) \right)\\ &= -\dfrac{155}{12}+\dfrac{40}{3}\\ &= \dfrac{5}{12} \end{array}$$ $I = \dfrac{5}{12}$
  3. On souhaite calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante : $J = \displaystyle\int_1^{2,5} f(x)\:\text{d}x$ où $f$ est la fonction dont une expression est donnée dans la partie C.
     1. Vérifier qu'une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\mathbb R$ est la fonction définie par : \[\text{pour tout réel }\:x,\: F(x) = - x \text{e}^{-x+2,5}.\]
     $F$ est dérivable comme somme de deux fonctions dérivables. $F=u v ,$ d'où $f'=u'v+v'u $ avec pour tout réel $x$, dans $ \mathbb R$ :
     $\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =-x\\ v(x)~ = \text{e}^{-x+2,5}\end{array}\right.$ ainsi : $\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ = -1 \\ v'(x)~ = -\text{e}^{-x+2,5}\end{array}\right.$ On a utilisé $(\text{e}^{u})'=u'\text{e}^{u}$ $$ \begin{array}{cl} F'(x)&= -1\text{e}^{-x+2,5}+(-x)(-\text{e}^{-x+2,5}) \\ & =\text{e}^{-x+2,5}(-1+x) \\ &= (x-1)\text{e}^{-x+2,5}\\ &= f(x) \end{array} $$ Ainsi, pour tout réel $x, F'(x)=f(x)$ donc $F $ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb R$ .
     2. En déduire la valeur exacte de l'intégrale $J$.
     $$\begin{array}{rl} J = \displaystyle\int_1^{2,5} f(x)\:\text{d}x & = F(2,5)-F(1) \text{ où } F \text{ désigne une primitive de } f \\ & =\left [ -x\text{e}^{-x+2,5}\right ]_{1}^{2,5} \\ &= -2,5\text{e}^{-2,5+2,5} -\left(-1\text{e}^{-1+2,5} \right)\\ &= - 2,5\text{e}^{0} +\text{e}^{1,5} \\ &= - 2,5 +\text{e}^{1,5} \\ \end{array}$$ $J = \text{e}^{1,5}- 2,5 $
  4. 1. Déterminer la valeur exacte de l'aire $S$ en unité d'aire,
     Graphiquement, l'aire $S$ du domaine hachuré est : $$\begin{array}{rl} S&= \displaystyle\int_1^{2,5} f(x)\:\text{d}x -\displaystyle\int_2^{2,5} g(x)\:\text{d}x \\ &= J-I\\ &= - 2,5 + \text{e}^{1,5} - \dfrac{5}{12}\\ &= \text{e}^{1,5} - \dfrac{5}{12}-\dfrac{5}{2}\\ &= \text{e}^{1,5} - \dfrac{35}{12}\\ \end{array}$$ $S =\text{e}^{1,5} - \dfrac{35}{12}$ unités d'aire.
     2. En déduire la valeur arrondie à $10^{-2}$ de l'aire $S$ en unité d'aire.
     $J \approx 1,57 $ unités d'aire.
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