Écrit par Luc Giraud le . Publié dans Annales S 2013

Baccalauréat S Liban 28 mai 2013

Exercice 1 4 points
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$.
Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A$(1 ; -1 ; 2)$, B$(3 ; 3 ; 8)$, C$(-3 ; 5 ; 4)$ et D(1 ; 2 ; 3).
On note $\mathscr{D}$ la droite ayant pour représentation paramétrique
$\left\{\begin{array}{l c l} x&=&t + 1\\ y &=& 2t - 1\\ z &=& 3t+2 \end{array}\right., t \in \mathbb{R}$ et $\mathscr{D}'$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x&=& k + 1\\ y &=& k + 3\\ z &=&-k + 4 \end{array}\right., k \in \mathbb{R}$.
On note $\mathscr{P}$ le plan d'équation $x + y - z + 2 = 0$.

Question 1 :

Proposition $\text{a. } $ Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont parallèles.
Proposition $\text{b. } $ Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont coplanaires.

Proposition $\text{c. } $ Le point C appartient à la droite $\mathscr{D}$.
Proposition $\text{d. } $Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont orthogonales.

Question 2 :

Proposition $\text{a. } $ Le plan $\mathscr{P}$ contient la droite $\mathscr{D}$ et est parallèle à la droite $\mathscr{D}'$.

Proposition $\text{b. }$ Le plan $\mathscr{P}$ contient la droite $\mathscr{D}'$ et est parallèle à la droite $\mathscr{D}$.

Proposition $\text{c. } $ Le plan $\mathscr{P}$ contient la droite $\mathscr{D}$ et est orthogonal à la droite $\mathscr{D}'$.

Proposition $\text{d. } $ Le plan $\mathscr{P}$ contient les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$.

Question 3 :

Proposition $\text{a. } $ Les points A, D et C sont alignés.

Proposition $\text{b. }$ Le triangle ABC est rectangle en A.

Proposition $\text{c. }$ Le triangle ABC est équilatéral.

Proposition $ \text{d. }$ Le point D est le milieu du segment [AB].

Question 4 : On note $\mathscr{P}'$ le plan contenant la droite $\mathscr{D}'$ et le point A. Un vecteur normal à ce plan est :

Proposition $\text{a. }$  $\vec{n}(-1 ; 5 ; 4)$

Proposition $\text{b. }$ $\vec{n}(3 ; -1 ; 2)$

Proposition $\text{c. } $ $\vec{n}(1 ; 2 ; 3)$

Proposition $\text{d. }$ $\vec{n}(1 ; 1 ; -1)$

 


Exercice 1 4 points
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$.
Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A$(1 ; -1 ; 2)$, B$(3 ; 3 ; 8)$, C$(-3 ; 5 ; 4)$ et D(1 ; 2 ; 3).
On note $\mathscr{D}$ la droite ayant pour représentation paramétrique
$\left\{\begin{array}{l c l} x&=&t + 1\\ y &=& 2t - 1\\ z &=& 3t+2 \end{array}\right., t \in \mathbb{R}$ et $\mathscr{D}'$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x&=& k + 1\\ y &=& k + 3\\ z &=&-k + 4 \end{array}\right., k \in \mathbb{R}$.
On note $\mathscr{P}$ le plan d'équation $x + y - z + 2 = 0$.

Question 1 :

Proposition $\text{a. } $ Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont parallèles.
Proposition $\text{b. } $ Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont coplanaires.

Proposition $\text{c. } $ Le point C appartient à la droite $\mathscr{D}$.
Proposition $\text{d. } $Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont orthogonales.



Question 1 : Réponse d

Un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vec{u}(1;2;3)$.

Un vecteur directeur de $\mathscr{D}’$ est $\vec{v}(1;1;-1)$.

Donc $\vec{u}.\vec{v} = 1 \times 1 + 2\times 1 + 3\times (-1) = 1 + 2 – 3 = 0$

$~$

Question 2 :

Proposition $\text{a. } $ Le plan $\mathscr{P}$ contient la droite $\mathscr{D}$ et est parallèle à la droite $\mathscr{D}'$.

Proposition $\text{b. }$ Le plan $\mathscr{P}$ contient la droite $\mathscr{D}'$ et est parallèle à la droite $\mathscr{D}$.

Proposition $\text{c. } $ Le plan $\mathscr{P}$ contient la droite $\mathscr{D}$ et est orthogonal à la droite $\mathscr{D}'$.

Proposition $\text{d. } $ Le plan $\mathscr{P}$ contient les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$.

Question 2 : Réponse c

 

Vérifions que la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}$ :

$(t+1)+(2t-1)-(3t+2)+2 = t+1+2t-1-3t-2+2=0$.

Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(1;1;-1) = \vec{v}$

$~$

Question 3 :

Proposition $\text{a. } $ Les points A, D et C sont alignés.

Proposition $\text{b. }$ Le triangle ABC est rectangle en A.

Proposition $\text{c. }$ Le triangle ABC est équilatéral.

Proposition $ \text{d. }$ Le point D est le milieu du segment [AB].

Question 3 : Réponse c

 

$\vec{AB}(2;4;6)$ donc $AB = \sqrt{2^2+4^2+6^2} = \sqrt{56}$

$\vec{AC}(-4;6;2)$ donc $AC = \sqrt{(-2)^2+6^2+2^2} = \sqrt{56}$

$\vec{BC}(-6;2;-4)$ donc $BC = \sqrt{(-6)^2+2^2+(-4)^2} = \sqrt{56}$

$~$

Question 4 : On note $\mathscr{P}'$ le plan contenant la droite $\mathscr{D}'$ et le point A. Un vecteur normal à ce plan est :

Proposition $\text{a. }$  $\vec{n}(-1 ; 5 ; 4)$

Proposition $\text{b. }$ $\vec{n}(3 ; -1 ; 2)$

Proposition $\text{c. } $ $\vec{n}(1 ; 2 ; 3)$

Proposition $\text{d. }$ $\vec{n}(1 ; 1 ; -1)$

 

Question 4 : Réponse b

Le point $E(1;3;4)$ appartient à $\mathscr{D}’$ donc $\vec{AE}(0;4;2)$.

$\vec{v}$ et $\vec{AE}$ ne sont pas colinéaires. Ils définissent donc une base de $\mathscr{P}’$.

Si on considère le vecteur $\vec{n}(3;-1;2)$ alors $\vec{n}.\vec{v} = 0$ et $\vec{n}.\vec{AE} = 0$

$~$


Exercice 2 5 points


Commun à tous les candidats
L'entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu'elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination «compote allégée ».
La législation impose alors que la teneur en sucre, c'est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme. L'entreprise possède deux chaînes de fabrication F$_{1}$ et F$_{2}$.
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Partie A
La chaîne de production F$_{2}$ semble plus fiable que la chaîne de production F$_{1}$.

Elle est cependant moins rapide. Ainsi, dans la production totale, 70 % des petits pots proviennent de la chaîne F$_{1}$ et 30 % de la chaîne F$_{2}$.

La chaîne F$_{1}$ produit 5 % de compotes non conformes et la chaîne F$_{2}$ en produit 1 %.

On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements : $E$ : «Le petit pot provient de la chaîne F$_{2}$ »
$C$ : «Le petit pot est conforme. »

  1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
  2. Calculer la probabilité de l'évènement : «Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F$_{1}$. »
  3. Déterminer la probabilité de l'évènement $C$.
  4. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $C$ est réalisé.


Partie B


    1. On note $X$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F$_{1}$, associe sa teneur en sucre. On suppose que $X$ suit la loi normale d'espérance $m_{1} = 0,17$ et d'écart-type $\sigma_{1} = 0,006$.
      Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous. $$\begin{array}{ |c|c|c|}\hline \alpha& \beta&P(\alpha \leqslant X \leqslant \beta)\\ \hline 0,13 &0,15 &0,0004\\ \hline 0,14 &0,16 &0,0478\\ \hline 0,15 &0,17 &0,4996 \\ \hline 0,16 &0,18 &0,9044\\ \hline 0,17 &0,19 &0,4996\\ \hline 0,18 &0,20 &0,0478\\ \hline 0,19 &0,21 &0,0004 \\ \hline \end{array}$$
    2. Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F$_{1}$ soit conforme.
    3. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F$_{2}$, associe sa teneur en sucre.
    4. On suppose que $Y$ suit la loi normaled'espérance $m_{2} = 0,17$ et d'écart-type $\sigma_{2}$. On suppose de plus que la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F$_{2}$ soit conforme est égale à $0,99$. Soit Z la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{Y - m_{2}}{\sigma_{2}}$.
      1. Quelle loi la variable aléatoire $Z$ suit-elle ?
      2. Déterminer, en fonction de $\sigma_{2}$ l'intervalle auquel appartient $Z$ lorsque $Y$ appartient à l'intervalle [0,16 ; 0,18].
      3. En déduire une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\sigma_{2}$.
      4. On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire $Z$ suit la loi normale d'espérance $0$ et d'écart-type $1$.
      $$\begin{array}{|c|c|}\hline \beta &P(- \beta \leqslant Z \leqslant \beta) \\ \hline 2,4324 &0,985\\ \hline 2,4573 &0,986\\ \hline 2,4838 &0,987\\ \hline 2,5121 &0,988\\ \hline 2,5427 &0,989\\ \hline 2,5758 &0,990\\ \hline 2,6121 &0,991\\ \hline 2,6521 &0,992\\ \hline 2,6968 &0,993\\ \hline \end{array} $$




Exercice 2 5 points


Commun à tous les candidats
L'entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu'elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination «compote allégée ».
La législation impose alors que la teneur en sucre, c'est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme. L'entreprise possède deux chaînes de fabrication F$_{1}$ et F$_{2}$.
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Partie A
La chaîne de production F$_{2}$ semble plus fiable que la chaîne de production F$_{1}$.

Elle est cependant moins rapide. Ainsi, dans la production totale, 70 % des petits pots proviennent de la chaîne F$_{1}$ et 30 % de la chaîne F$_{2}$.

La chaîne F$_{1}$ produit 5 % de compotes non conformes et la chaîne F$_{2}$ en produit 1 %.

On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements : $E$ : «Le petit pot provient de la chaîne F$_{2}$ »
$C$ : «Le petit pot est conforme. »

    1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.

    1. Calculer la probabilité de l'évènement : «Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F$_{1}$. »
    2. On cherche donc $p \left(\bar{E} \cap C \right) = 0,7 \times 0,95 = 0,665$

 

      $~$
    1. Déterminer la probabilité de l'évènement $C$.
    2. D’après la propriété des probabilités totales :

 

      $$\begin{array}{ll} p(C) &= p \left(\bar{E} \cap C \right) + p(E \cap C) \\

 

      &=0,665 + 0,3 \times 0,99 \\

 

      &= 0,962

 

    \end{array}$$
  1. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $C$ est réalisé.
  2. $p_C(E) = \dfrac{p(E \cap C)}{p(C)} = \dfrac{0,3 \times 0,99}{0,962} = 0,309$ à $10^{-2}$ près


Partie B


    1. On note $X$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F$_{1}$, associe sa teneur en sucre. On suppose que $X$ suit la loi normale d'espérance $m_{1} = 0,17$ et d'écart-type $\sigma_{1} = 0,006$.

      Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous. $$\begin{array}{ |c|c|c|}\hline \alpha& \beta&P(\alpha \leqslant X \leqslant \beta)\\ \hline 0,13 &0,15 &0,0004\\ \hline 0,14 &0,16 &0,0478\\ \hline 0,15 &0,17 &0,4996 \\ \hline 0,16 &0,18 &0,9044\\ \hline 0,17 &0,19 &0,4996\\ \hline 0,18 &0,20 &0,0478\\ \hline 0,19 &0,21 &0,0004 \\ \hline \end{array}$$
    2. Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F$_{1}$ soit conforme.
    3. Le petit pot est conforme quand la teneur en sucre est comprise entre $0,16$ et $0,18$.

 

      Or $P(0,16 \le X \le 0,18) = 0,9044$.

 

      La probabilité qu’un petit pot de la chaîne $F_1$ soit conforme est donc de $0,9044$.

 

      $~$ Avec la calculatrice :

      2ND DISTR 2NORMALFRép( 0.16 , 0.18,0.17,0.006)EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      $$NormalFR\text{é}p(0.16,0.18,0.17,0.006) \approx 0,9044$$

      $$P(0.16 \leq X \leq 0.18)\approx 0,9044 \text{ à } 10^{-4} \text{ près.}$$

       

    1. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F$_{2}$, associe sa teneur en sucre.
    2. On suppose que $Y$ suit la loi normaled'espérance $m_{2} = 0,17$ et d'écart-type $\sigma_{2}$. On suppose de plus que la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F$_{2}$ soit conforme est égale à $0,99$. Soit Z la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{Y - m_{2}}{\sigma_{2}}$.
      1. Quelle loi la variable aléatoire $Z$ suit-elle ?
      2. Puisque la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale $\mathscr{N}(m_2;\sigma_2^2)$ alors la variable aléatoire $Z = \dfrac{N – m_2}{\sigma_2}$ suit la loi normale centrée réduite.

 

        $~$

 

      1. Déterminer, en fonction de $\sigma_{2}$ l'intervalle auquel appartient $Z$ lorsque $Y$ appartient à l'intervalle [0,16 ; 0,18].
      2. $$\begin{array}{ll} 0,16 \le Y \le 0,18 &\Leftrightarrow -0,01 \le Y – m_2 \le 0,01 \\

 

        & \Leftrightarrow \dfrac{-0,01}{\sigma_2} \le \dfrac{Y-m_2}{\sigma_2} \le \dfrac{0,01}{\sigma_2} \\

 

        & \Leftrightarrow \dfrac{-0,01}{\sigma_2} \le Z \le \dfrac{0,01}{\sigma_2}

 

        \end{array}$$

 

        $~$

 

      1. En déduire une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\sigma_{2}$.
      2. On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire $Z$ suit la loi normale d'espérance $0$ et d'écart-type $1$.
      $$\begin{array}{|c|c|}\hline \beta &P(- \beta \leqslant Z \leqslant \beta) \\ \hline 2,4324 &0,985\\ \hline 2,4573 &0,986\\ \hline 2,4838 &0,987\\ \hline 2,5121 &0,988\\ \hline 2,5427 &0,989\\ \hline 2,5758 &0,990\\ \hline 2,6121 &0,991\\ \hline 2,6521 &0,992\\ \hline 2,6968 &0,993\\ \hline \end{array} $$




      On sait que la probabilité qu’un petit pot de la chaîne $F_2$ soit conforme est égale à $0,99$.

 

      Donc $P(0,16 \le Y \le 0,18) = 0,99$.

 

      Par conséquent $P\left(\dfrac{-0,01}{\sigma_2} \le Z \le \dfrac{0,01}{\sigma_2} \right) = 0,99$.

 

      D’après le tableau fourni, on en déduit donc que $\dfrac{0,01}{\sigma_2} = 2,5758$.

 

    Par conséquent $\sigma_2 = \dfrac{0,01}{2,5758} = 0,004$ à $10^{-3}$ près.

Exercice 3 6 points


Commun à tous les candidats

Étant donné un nombre réel $k$, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur $\mathbb{R}$ par
\[f_{k}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- kx}}.\] Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$.
Partie A

Dans cette partie on choisit $k = 1$. On a donc, pour tout réel $x,f_{1}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- x}}$. La représentation graphique $\mathscr{C}_{1}$ de la fonction $f_{1}$ dans le repère $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ est donnée en ANNEXE, à rendre avec la copie.

    1. Déterminer les limites de $f_{1}(x)$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
    2. Démontrer que, pour tout réel $x, f_{1}(x) = \dfrac{\text{e}^{x}}{1 + \text{e}^{x}}$.
    3. On appelle $f'_{1}$ la fonction dérivée de $f_{1}$ sur $\mathbb{R}$. Calculer, pour tout réel $x,\: f'_{1}(x)$.
      En déduire les variations de la fonction $f_{1}$ sur $\mathbb{R}$.
    4. On définit le nombre $I = \displaystyle\int_{0}^1 f_{1}(x)\:\text{d}x$.

 

    Montrer que $I = \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2}\right)$. Donner une interprétation graphique de $I$.

Partie B
Dans cette partie, on choisit $k = - 1$ et on souhaite tracer la courbe $\mathscr{C}_{- 1}$ représentant la fonction $f_{- 1}$.
Pour tout réel $x$, on appelle $P$ le point de $\mathscr{C}_{1}$ d'abscisse $x$ et $M $ le point de $\mathscr{C}_{- 1}$ d'abscisse $x$. On note $K$ le milieu du segment $[MP]$.

  1. Montrer que, pour tout réel $x,\: f_{1}(x) + f_{- 1}(x) = 1$.
  2. En déduire que le point $K$ appartient à la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}$.
  3. Tracer la courbe $\mathscr{C}_{- 1}$ sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie.
  4. En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes $\mathscr{C}_{1}$, $\mathscr{C}_{- 1}$ l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.


  Partie C
Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre $k$. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

  1. Quelle que soit la valeur du nombre réel $k$, la représentation graphique de la fonction $f_{k}$ est strictement comprise entre les droites d'équations $y = 0$ et $y = 1$.
  2. Quelle que soit la valeur du réel $k$, la fonction $f_{k}$ est strictement croissante.
  3. Pour tout réel $k \geqslant 10,\: f_{k}\left(\dfrac{1}{2}\right) \geqslant 0,99$.

 Annexe

 


Exercice 3 6 points


Commun à tous les candidats

Étant donné un nombre réel $k$, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur $\mathbb{R}$ par
\[f_{k}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- kx}}.\] Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$.
Partie A

Dans cette partie on choisit $k = 1$. On a donc, pour tout réel $x,f_{1}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- x}}$. La représentation graphique $\mathscr{C}_{1}$ de la fonction $f_{1}$ dans le repère $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ est donnée en ANNEXE, à rendre avec la copie.

    1. Déterminer les limites de $f_{1}(x)$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
    2. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^{-x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f_1(x) = 1$.

 

Cela signifie donc que la courbe $\mathscr{C}_1$ possède une asymptote hozintale d’équation $y=1$.

 

      $~$

 

      $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \text{e}^{-x}= +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} =f_1(x) = 0$.

 

      Cela signifie donc que la courbe $\mathscr{C}_1$ possède une asymptote horizontale d’équation $y=0$.

 

    1. Démontrer que, pour tout réel $x, f_{1}(x) = \dfrac{\text{e}^{x}}{1 + \text{e}^{x}}$.
    2. $f_1(x) = \dfrac{1}{1+\text{e}^{-x}} = \dfrac{1}{1+\text{e}^{-x}} \times \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}} = \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}+1}$

 

    1. On appelle $f'_{1}$ la fonction dérivée de $f_{1}$ sur $\mathbb{R}$. Calculer, pour tout réel $x,\: f'_{1}(x)$.
      En déduire les variations de la fonction $f_{1}$ sur $\mathbb{R}$.
    2. $f_1$ est un quotient de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ dont le dénominateur ne s’annule pas donc $f_1$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

 

      $$f_1′(x) = \dfrac{-(-\text{e}^{-x})}{(1+\text{e}^{-x})^2} = \dfrac{\text{e}^{-x}}{(1+\text{e}^{-x})^2} > 0$$

 

      Donc $f_1$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

 

    1. On définit le nombre $I = \displaystyle\int_{0}^1 f_{1}(x)\:\text{d}x$.



      Montrer que $I = \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2}\right)$. Donner une interprétation graphique de $I$. $f_1(x) = \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}+1}$ est de la forme $\dfrac{u’}{u}$.

 

      Donc une primitive de $f_1$ est $F_1$ définie par $F_1(x) = \ln(\text{e}^{x} + 1)$.

 

      Par conséquent :

 

      $$\begin{array}{ll} I &= F_1(1) – F_1(0) \\ &=\ln(\text{e} + 1) – \ln(1 + 1) \\ &=\ln(\text{e} + 1) – \ln(2) \\ &= \ln \left(\dfrac{\text{e}+1}{2} \right) \end{array}$$

 

Cela signifie donc que l’aire comprise entre la courbe $\mathscr{C}_1$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$ est de $\ln \left(\dfrac{\text{e}+1}{2} \right)$ u.a.

 

    $~$

Partie B
Dans cette partie, on choisit $k = - 1$ et on souhaite tracer la courbe $\mathcal{C}_{- 1}$ représentant la fonction $f_{- 1}$.
Pour tout réel $x$, on appelle $P$ le point de $\mathcal{C}_{1}$ d'abscisse $x$ et $M $ le point de $\mathcal{C}_{- 1}$ d'abscisse $x$. On note $K$ le milieu du segment $[MP]$.

    1. Montrer que, pour tout réel $x,\: f_{1}(x) + f_{- 1}(x) = 1$.
    2. $f_1(x)+f_{-1}(x) = \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}+1}+\dfrac{1}{1+\text{e}^{x}} = \dfrac{\text{e}^{x}+1}{\text{e}^{x}+1} = 1$

 

      $~$
    1. En déduire que le point $K$ appartient à la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}$.
    2. L’ordonnée de $P$ est donc $f_1(x)$ et celle de M est $f_{-1}(x)$.

 

      Par conséquent l’ordonnée de $K$ est : $\dfrac{f_1(x)+f_{-1}(x)}{2} = \dfrac{1}{2}$.

 

      $K$ appartient donc bien à la droite d’équation $y = \dfrac{1}{2}$.

 

      $~$
    1. Tracer la courbe $\mathcal{C}_{- 1}$ sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie.
    2. On trace donc la courbe symétrique à $\mathscr{C}_1$ par rapport à la droite d’équation $y=\dfrac{1}{2}$.


    1. En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{- 1}$ l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.
    2. On cherche donc $J = \displaystyle \int_0^1 \left(f_1(x)-f_{-1}(x) \right) \text{d}x$.

 

      Or $f_1(x)+f_{-1}(x) = 1$

 

      Donc $f_{-1}(x) = 1 – f_1{x}$ et $f_1(x)-f_{-1}(x) = 2f_1(x) – 1$

 

      Par conséquent

 

      $$ \begin{array} {ll}J &= \displaystyle \int_0^1 \left( 2f_1(x)-1 \right) \text{d}x \\

 

      &=2I-1 \\

 

      &=2 \ln \left(\dfrac{\text{e}+1}{2} \right) – 1 \text{u.a.}

 

    \end{array}$$

Partie C

    1. Quelle que soit la valeur du nombre réel $k$, la représentation graphique de la fonction $f_{k}$ est strictement
      comprise entre les droites d'équations $y = 0$ et $y = 1$.

Vrai

      Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour tout réel $k$, $1+\text{e}^{-kx} > 0$ donc $f_k(x) > 0$.

 

      $$ \begin{array}{ll} f_k(x) -1 &= \dfrac{1}{1+ \text{e}^{-kx}} – 1 \\\\

 

      &= \dfrac{1}{1+\text{e}^{-kx}} – \dfrac{1+\text{e}^{-kx}}{1+\text{e}^{-kx}} \\\\

 

      &=\dfrac{-\text{e}^{-kx}}{1+\text{e}^{-kx}} < 0

 

      \end{array}$$

 

      Donc la représentation graphique de la fonction $f_k$ est comprise entre les droites d’équation $y=0$ et $y=1$

 

      $~$
    1. Quelle que soit la valeur du réel $k$, la fonction $f_{k}$ est strictement croissante.

Faux

      La courbe représentative de la fonction $f_{-1}$ étant la symétrique par rapport à la droite d’équation

 

      $y=\dfrac{1}{2}$ de celle de la fonction $f_1$, la fonction $f_{-1}$ est donc décroissante.

 

      $~$ Ou d'une autre façon $f_{-1}(x)=\dfrac{1}{1+ \text{e}^{x}}$ ; cette fonction est clairement dérivable sur $\mathbb{R}$; et

 

      $f_{-1}'(x)=-\dfrac{\text{e}^{x}}{\left(1+ \text{e}^{x}\right)^2}$.

 

    Cette fonction dérivée est clairement strictement négative sur $\mathbb{R}$, car la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$. la fonction $f_{-1}$ est donc strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
  1. Pour tout réel $k \geqslant 10,\: f_{k}\left(\dfrac{1}{2}\right) \geqslant 0,99$.
  2. $$\begin{array} {ll}k \ge 10 & \Leftrightarrow -0,5k \le -5 \\ & \Leftrightarrow \text{e}^{-0,5k} \le \text{e}^{-5} \\ & \Leftrightarrow 1+\text{e}^{-0,5k} \le 1+ \text{e}^{-5} \\ & \Leftrightarrow f_k \left(\dfrac{1}{2} \right) \ge \dfrac{1}{1+\text{e}^{-5}} \ge 0,993 > 0,99\\ \end{array}$$

 


Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité

On considère la suite numérique $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par
$\left\{\begin{array}{l c l} v_{0} &=& 1\\ v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}} \end{array}\right.$
Partie A

  1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse. $$\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|}\hline \text{Algorithme No 1} &&\text{Algorithme No 2}&&\text{Algorithme No 3} \\\hline \text{Variables :} && \text{Variables :}& & \text{Variables :} \\ v \;\text{est un réel}&&v \;\text{est un réel}&& v \;\text{est un réel}\\ i \text{ et } n \;\text{sont des entiers naturels}&& i \;\text{ et } n \; \text{sont des entiers naturels}&& i \text{ et } n \;\text{sont des entiers naturels}\\  &&&&\\ \text{Début de l'algorithme :}&&\text{Début de l'algorithme :}&& \text{Début de l'algorithme :}\\ \text{Lire } n&&\text{Lire } n&&\text{Lire } n\\ v \text{ prend la valeur } 1&&\text{Pour } i \text{ variant de 1 à } n \text{ faire }&& v\; \text{ prend la valeur } \;1\\ \text{Pour } i \text{ variant de 1 à } n \text{ faire }&&v\; \text{ prend la valeur } \;1&&\text{Pour } i \text{ variant de 1 à } n \text{ faire }\\ \hspace{0.2cm} v \;\text{ prend la valeur } \dfrac{9}{6 - v}&&\hspace{0.2cm}\text{ Afficher } v&& \hspace{0.2cm}\text{ Afficher } v\\ \text{ Fin pour } &&v \text{ prend la valeur } \dfrac{9}{6 - v}&&v \text{ prend la valeur } \dfrac{9}{6 - v}\\ \text{ Afficher } v&& \text{ Fin pour }&&\text{Fin pour }\\ &&&&\text{Afficher } v\\ \text{Fin algorithme}&&\text{Fin algorithme}&&\text{Fin algorithme}\\ \hline \end{array} $$ Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < v_{n} < 3$.
    2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(3 - v_{n} \right)^2}{6 - v_{n}}$. La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle monotone ?
    3. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente.

Partie B Recherche de la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$

On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par
\[w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}.\]

  1. Démontrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$
  2. En déduire l'expression de $\left(w_{n}\right)$, puis celle de $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n$.
  3. Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$.

 


Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité

On considère la suite numérique $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par
$\left\{\begin{array}{l c l} v_{0} &=& 1\\ v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}} \end{array}\right.$
Partie A

    1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse. $$\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|}\hline \text{Algorithme No 1} &&\text{Algorithme No 2}&&\text{Algorithme No 3} \\\hline \text{Variables :} && \text{Variables :}& & \text{Variables :} \\ v \;\text{est un réel}&&v \;\text{est un réel}&& v \;\text{est un réel}\\ i \text{ et } n \;\text{sont des entiers naturels}&& i \;\text{ et } n \; \text{sont des entiers naturels}&& i \text{ et } n \;\text{sont des entiers naturels}\\  &&&&\\ \text{Début de l'algorithme :}&&\text{Début de l'algorithme :}&& \text{Début de l'algorithme :}\\ \text{Lire } n&&\text{Lire } n&&\text{Lire } n\\ v \text{ prend la valeur } 1&&\text{Pour } i \text{ variant de 1 à } n \text{ faire }&& v\; \text{ prend la valeur } \;1\\ \text{Pour } i \text{ variant de 1 à } n \text{ faire }&&v\; \text{ prend la valeur } \;1&&\text{Pour } i \text{ variant de 1 à } n \text{ faire }\\ \hspace{0.2cm} v \;\text{ prend la valeur } \dfrac{9}{6 - v}&&\hspace{0.2cm}\text{ Afficher } v&& \hspace{0.2cm}\text{ Afficher } v\\ \text{ Fin pour } &&v \text{ prend la valeur } \dfrac{9}{6 - v}&&v \text{ prend la valeur } \dfrac{9}{6 - v}\\ \text{ Afficher } v&& \text{ Fin pour }&&\text{Fin pour }\\ &&&&\text{Afficher } v\\ \text{Fin algorithme}&&\text{Fin algorithme}&&\text{Fin algorithme}\\ \hline \end{array} $$ Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
    2. La suite $(v_n)$ est définie par récurrence. Il faut donc, qu’à chaque étape de calcul, la variable $v$ prenne la valeur $\dfrac{9}{6-v}$ et qu’on affiche cette valeur. L’affichage doit donc avoir lieu avant la fin de la boucle « pour » : on rejette donc l’algorithme $1$.

 

      $~$

 

      Dans l’algorithme $2$, la variable $v$ est, à chaque tout, initialisée à $1$ : on rejette donc cet algorithme.

 

      $~$

 

Il ne reste donc que l’algorithme $3$.

 

      1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < v_{n} < 3$.
          • Initialisation : $v_0 = 1$ donc $0 < v_0 < 3$
            La propriété est vraie au rang $0$.

          • Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ :
            $$\begin{array}{ll} 0 < v_n < 3 & \Leftrightarrow -3 < -v_n < 0 \\ & \Leftrightarrow 3 < 6 – v_n < 6 \\\\
            & \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} \le \dfrac{1}{6 – v_n} \le \dfrac{1}{3} \\ & \dfrac{9}{6} \le v_{n+1} \le \dfrac{9}{3} \end{array}$$
            Donc $0 \le v_{n+1} \le 3$.
            La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

        • Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
          $~$
          Par conséquent, pour tout entier $n$, $0 < v_n < 3$.
          $~$
      2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(3 - v_{n} \right)^2}{6 - v_{n}}$. La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle monotone ?
      3. $$\begin{array}{ll} v_{n+1} – v_n &= \dfrac{9}{6 – v_n} – v_n \\ &= \dfrac{9 – 6v_n + v_n^2}{6-v_n} \\ &=\dfrac{(3-v_n)^2}{6-v_n} \end{array}$$

        On sait que $0<v_n<3$ donc $6-v_n > 0$.

        Par conséquent $v_{n+1}-v_n > 0$ et la suite $(v_n)$ est croissante.

        $~$

    1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente.
    2. La suite $(v_n)$ est croissante et majorée par $3$. Elle est donc convergente.

Partie B Recherche de la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$


On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par
\[w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}.\]

    1. Démontrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$
    2. $$\begin{array} {ll}w_{n+1}& = \dfrac{1}{v_{n+1} – 3} \\ & =\dfrac{1}{\dfrac{9}{6-v_n}-3} \\ &= \dfrac{6-v_n}{9-18+3v_n} \\ &=\dfrac{6-v_n}{-9+3v_n} \end{array}$$

 

      $$\begin{array}{ll} w_n-\dfrac{1}{3} &= \dfrac{1}{v_n-3} – \dfrac{1}{3} \\ &=\dfrac{3-(v_n-3)}{3(v_n-3)} \\ &=\dfrac{6-v_n}{3v_n-9} = w_{n+1} \end{array} $$

 

La suite $(w_n)$ est donc bien arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$

 

      $~$
    1. En déduire l'expression de $\left(w_{n}\right)$, puis celle de $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n$.
    2. La suite $(w_n)$ est donc bien arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$

 

      $~$, on a donc $w_n=w_0+nr$; or $w_0=\dfrac{1}{v_0-3}=\dfrac{1}{1-3}=-\dfrac{1}{2}$ $$w_n=-\dfrac{1}{2}+n\times \left(- \dfrac{1}{3}\right)=- \dfrac{1}{3}n-\dfrac{1}{2}$$ On a $$\begin{array} {ll}w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}&\Leftrightarrow v_n-3 = \dfrac{1}{w_{n}} \\ & \Leftrightarrow v_n = 3+\dfrac{1}{w_{n}} \\ &\Leftrightarrow v_n = 3+\dfrac{1}{- \dfrac{1}{3}n-\dfrac{1}{2}} \\ \end{array}$$
$$ v_n = 3+\dfrac{1}{- \dfrac{1}{3}n-\dfrac{1}{2}}$$
    1. Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$.

$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{n \to +\infty}~- \dfrac{1}{3}n-\dfrac{1}{2}=-\infty\\ \lim\limits_{t \to -\infty}~\dfrac{1}{t}=0 \end{array}\right\}$ par composée on obtient: $\lim\limits_{n \to +\infty}~\dfrac{1}{- \dfrac{1}{3}n-\dfrac{1}{2}}=0$ 

On déduit donc $$\lim\limits_{n \to +\infty}v_n=3$$

 


 

Exercice 45 points 


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 3,\: u_{1} = 8$ et, pour tout $n$ supérieur ou égal à 0 :
\[ u_{n + 2} = 5u_{n+1} - 6u_{n}.\]

    1. Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$.
    2. Pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, on souhaite calculer $u_{n}$ à l'aide de l'algorithme suivant :
      $$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :} &a, b \text{ et } c \text{ sont des nombres réels }\\ &i \text{ et } n \text{ sont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 } \\ \text{Initialisation :} &a \text{ prend la valeur 3 }\\ &b \text{ prend la valeur 8 }\\ \text{Traitement :} &\text{ Saisir } n\\ &\text{ Pour } i \text{ variant de 2 à n faire}\\ &\hspace{0.4cm}\begin{array}{|l} c \text{ prend la valeur } a\\ a \text{ prend la valeur } b\\ b \text{ prend la valeur } \ldots\\ \end{array} \\ &\text{Fin Pour}\\ \text{Sortie :} &\text{Afficher } b\\ \hline \end{array}$$

 

      1. Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter.
      2. On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant:



        $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 &15\\ \hline u_{n}&4502 &13378 &39878 &119122 &356342 &1066978 &3196838 &9582322 &28730582\\ \hline \end{array}$$

 

    1. Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
  1. Pour tout entier naturel $n$, on note $C_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_{n}\end{pmatrix}$. On note $A$ la matrice carrée d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel $n$,
    $C_{n+1} = AC_{n}$.
    Déterminer $A$ et prouver que, pour tout entier naturel $n,\: C_{n} = A^nC_{0}$.
  2. Soient $P = \begin{pmatrix}2&3\\1&1 \end{pmatrix},\: D = \begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}- 1&3\\1&- 2 \end{pmatrix}$.
    Calculer $QP$. On admet que $A = PDQ$. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n,\: A^n = PD^nQ$.
  3. À l'aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l'on admet. Pour tout entier naturel non nul $n$,
    \[A^n = \begin{pmatrix}- 2^{n+1} +3^{n+1}& 3\times 2^{n+1} - 2\times 3^{n+1}\\ - 2^n +3^n& 3 \times 2^n - 2 \times 3^n \end{pmatrix}.\] En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
    La suite $\left(u_{n}\right)$ a-t-elle une limite ?

 

Exercice 45 points 


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 3,\: u_{1} = 8$ et, pour tout $n$ supérieur ou égal à 0 :
\[ u_{n + 2} = 5u_{n+1} - 6u_{n}.\]

    1. Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$.
    2. $u_2 = 5u_1-6u_0 = 5\times 8 – 6\times 3 = 22$

 

      $u_3 = 5u_2 – 6u_1 = 5 \times 22 – 6 \times 8 = 62$

 

      $~$
    1. Pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, on souhaite calculer $u_{n}$ à l'aide de l'algorithme suivant :
      $$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :} &a, b \text{ et } c \text{ sont des nombres réels }\\ &i \text{ et } n \text{ sont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 } \\ \text{Initialisation :} &a \text{ prend la valeur 3 }\\ &b \text{ prend la valeur 8 }\\ \text{Traitement :} &\text{ Saisir } n\\ &\text{ Pour } i \text{ variant de 2 à n faire}\\ &\hspace{0.4cm}\begin{array}{|l} c \text{ prend la valeur } a\\ a \text{ prend la valeur } b\\ b \text{ prend la valeur } \ldots\\ \end{array} \\ &\text{Fin Pour}\\ \text{Sortie :} &\text{Afficher } b\\ \hline \end{array}$$

 

      1. Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter.
      2. On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant:



        $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 &15\\ \hline u_{n}&4502 &13378 &39878 &119122 &356342 &1066978 &3196838 &9582322 &28730582\\ \hline \end{array}$$

 

        « $b$ prend la velaur $5b-6c$ » ou « $b$ prend la valeur $5a-6c$ »

 

        $~$

 

      1. Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
      2. Il semblerait que la suite $(u_n)$ soit croissante.
    1. Pour tout entier naturel $n$, on note $C_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_{n}\end{pmatrix}$. On note $A$ la matrice carrée d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel $n$,
      $C_{n+1} = AC_{n}$.
      Déterminer $A$ et prouver que, pour tout entier naturel $n,\: C_{n} = A^nC_{0}$.
    2. On a $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$ et $u_{n+1} = u_{n+1}$.

 

      $~$

 

      Donc $A \begin{pmatrix} 5&-6 \\\\1&0 \end{pmatrix}$

 

      $~$

 

      • Initialisation : $A^0 = \begin{pmatrix} 1&0 \\\\0&1 \end{pmatrix}$ .
        Donc $C_0 = A^0A_0$.
        La propriété est donc vraie au rang $0$.
      • Hérédite : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $C_n = A^nC_0$
        Alors $C_{n+1} = AC_n=A\times A^nC_0 = A_{n+1}C_0$.
        La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
      • Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$.
        En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
        Donc pour tout entier naturel $n$, $C_n = A^nC_0$
        $~$
    1. Soient $P = \begin{pmatrix}2&3\\1&1 \end{pmatrix},\: D = \begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}- 1&3\\1&- 2 \end{pmatrix}$.
      Calculer $QP$. On admet que $A = PDQ$. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n,\: A^n = PD^nQ$.
    2. $QP = \begin{pmatrix} 1&0 \\\\0&1 \end{pmatrix}$

 

      • Initialisation : $A = PDQ$. La propriété est donc vraie au rang $1$.
      • Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $A^n = PD^nQ$
        Alors $A^{n+1} = A \times A^n = PDQ \times PD^nQ=PDD^nQ = PD^{n+1}Q$.
        La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
      • Conclusion : la propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
        Donc, pour tout entier naturel non nul, $A^n = PD^nQ$
    1. À l'aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l'on admet. Pour tout entier naturel non nul $n$,
      \[A^n = \begin{pmatrix}- 2^{n+1} +3^{n+1}& 3\times 2^{n+1} - 2\times 3^{n+1}\\ - 2^n +3^n& 3 \times 2^n - 2 \times 3^n \end{pmatrix}.\] En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
      La suite $\left(u_{n}\right)$ a-t-elle une limite ?
    2. On a donc $\begin{pmatrix} u_{n+1} \\\\u_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} 8 \\\\3 \end{pmatrix}$.

 

      Donc $u_n = 8 \times (-2^n+3^n) + 3(3 \times 2^n – 2\times 3^n) = 2^n + 2\times 3^n$

 

      $~$

 

      Comme $2>1$ et $3>1$ on a : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 2^n = +\infty$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 3^n = +\infty$

 

      $~$

 

    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n = +\infty$.

ANNEXE de l’EXERCICE 3, à rendre avec la copie

Représentation graphique $C_1$  de la fonction $f_1$