Baccalauréat S Pondichéry 4 mai 2018 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans l'espace muni du repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ d'unité 1 cm, on considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives $(2~;~1~;~4)$, $(4~;~-1~;~0)$, $(0~;~3~;~2)$ et $(4~;~3~;~-2)$.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CD).
On a $\vec{CD}(4;0;-4)$.
Une représentation paramétrique de la droite $(CD)$ est donc $\begin{cases} x=4t\\y=3\\z=2-4t\end{cases} \quad, t\in\mathbb{R}$.
$\quad$
2. Soit $M$ un point de la droite (CD).
   1. Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que la distance B$M$ soit minimale.
   On a donc $M(4t;3;2-4t)$
   Ainsi
   $\begin{align*} BM&=\sqrt{(4t-4)^2+(3+1)^2+(2-4t)^2} \\
   &=\sqrt{16t^2-32t+16+16+4-16t+16t^2} \\
   &=\sqrt{32t^2-48t+36}
   \end{align*}$
   La fonction racine carrée étant strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$, $BM$ est minimal quand $32t^2-48t+36$ l’est aussi.
   Le coefficient principal de cette expression du second degré est $a=32>0$.
   L’expression possède donc un minimum en $t_0=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{48}{64}=0,75$.
   Ainsi la distance $BM$ est minimale pour $M(3;3;-1)$.
   $\quad$
   
   2. On note H le point de la droite (CD) ayant pour coordonnées $(3~;~3~;~- 1)$. Vérifier que les droites (BH) et (CD) sont perpendiculaires.
   On a $\vec{BH}(-1;4;-1)$ et $\vec{CD}(4;0;-4)$.
   Par conséquent $\vec{BH}.\vec{CD}=-1\times 4+0+(-1)\times (-4)=0$.
   Les vecteurs sont donc orthogonaux et les droites $(BH)$ et $(CD)$sont perpendiculaires (elles ont un point d’intersection puisque le point $H$ appartient à chacune d’entre-elles).
   $\quad$
   
   3. Montrer que l'aire du triangle BCD est égale à 12 cm$^2$.
   On a $CD=\sqrt{4^2+(-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
   et $BH=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
   L’aire du triangle $BCD$ est $\dfrac{CD\times BH}{2}=\dfrac{4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2}=12$ cm$^2$.
   $\quad$
3. 1. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BCD).
   On a $\vec{BC}(-4;4;2)$.
   Donc $\vec{BC}.\vec{n}=-4\times 2+4\times 1+2\times 2=-8+4+4=0$
   et $\vec{CD}.\vec{n}=4\times 2+0-4\times 2=0$
   Les vecteurs $\vec{CD}$ et $\vec{BC}$ sont clairement non colinéaires (une coordonnée est nulle pour l’un et pour l’autre).
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BCD)$.
   Il est donc normal au plan $(BCD)$.
   $\quad$
   
   2. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).
   Une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est donc de la forme :
   $2x+y+2z+d=0$
   Le point $C(0;3;2)$ appartient au plan.
   Par conséquent $3+4+d=0 \iff d=-7$.
   Une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est donc $2x+y+2z-7=0$.
   $\quad$
   
   3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par A et orthogonale au plan (BCD).
   La droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(BCD)$.
   $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de cette droite.
   Ainsi une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :
   $\begin{cases} x=2+2k\\y=1+k\\z=4+2k\end{cases} \quad, k\in \mathbb{R}$.
   $\quad$
   
   4. Démontrer que le point I, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (BCD) a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{8}{3}\right)$.
   Montrons que le point $I$ appartient au plan $(BCD)$.
   $2\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}+2\times \dfrac{8}{3}-7=\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{16}{3}-7=\dfrac{21}{3}-7=0$
   Ainsi $I\in (BCD)$.
   $\quad$
   Montrons que le point $I$ appartient à la droite $\Delta$.
   On doit donc résoudre le système
   $\begin{cases} 2+2k=\dfrac{2}{3}\\1+k=\dfrac{1}{3}\\4+2k=\dfrac{8}{3}\end{cases} \iff k=-\dfrac{2}{3}$
   Donc $I\in \Delta$.
   Le point $I$ est par conséquent le point d’intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(BCD)$.
   $\quad$
   5. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.
   On a $AI=\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}-2\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}-1\right)^2+\left(\dfrac{8}{3}-4\right)^2}=2$
   Par conséquent le volume du tétraèdre $ABCD$ est :
   $V=\dfrac{AI\times \mathscr{A}_{BCD}}{3}=\dfrac{2\times 12}{3}=8$ cm$^3$.