Baccalauréat S Polynésie 20 juin 2018 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un atome d'hydrogène peut se trouver dans deux états différents, l'état stable et l'état excité. À chaque nanoseconde, l'atome peut changer d'état.

Partie A - Étude d'un premier milieu

Dans cette partie, on se place dans un premier milieu (milieu 1) où, à chaque nanoseconde, la probabilité qu'un atome passe de l'état stable à l'état excité est $0,005$, et la probabilité qu'il passe de l'état excité à l'état stable est $0,6$. On observe un atome d'hydrogène initialement à l'état stable. On note $a_n$ la probabilité que l'atome soit dans un état stable et $b_n$ la probabilité qu'il se trouve dans un état excité, $n$ nanosecondes après le début de l'observation. On a donc $a_0 = 1$ et $b_0 = 0$. On appelle $X_n$ la matrice ligne $X_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$. L'objectif est de savoir dans quel état se trouvera l'atome d'hydrogène à long terme.

1. Calculer $a_1$ puis $b_1$ et montrer que $a_2 = 0,993\;025 $ et $b_2 = 0,006\;975 $.
Pour tout entier naturel $n$ on a $\begin{cases} a_{n+1}=0,995a_n+0,6b_n \\b_{n+1}=1-a_{n+1} \end{cases}$
Donc $a_1=0,995a_n+0,6b_n=0,995$ et $b_1=1-a_n=0,005$.
$a_2=0,995a_1+0,6b_n=0,993~025$ et $b_2=1-a_n=006~975$.
$\quad$
2. Déterminer la matrice $A$ telle que, pour tout entier naturel $n$,\: $X_{n+1} = X_n A$. $A$ est appelée matrice de transition dans le milieu 1. On admet alors que, pour tout entier naturel $n$, $X_n = X_0A^n$.
Pour tout entier naturel $n$ on a
$\begin{cases} a_{n+1}=0,995a_n+0,6b_n \\b_{n+1}=1-a_{n+1} \end{cases} \iff \begin{cases} a_{n+1}=0,995a_n+0,6b_n\\b_{n+1}=0,005a_n+0,4b_n \end{cases} $
Donc $A=\begin{pmatrix} 0,995&0,005\\0,6&0,4 \end{pmatrix}$.
$\quad$
3. On définit la matrice $P$ par $P = \begin{pmatrix}1&-1\\ 1&120\end{pmatrix}$. On admet que $P$ est inversible et que \[P^{-1} = \dfrac{1}{121}\begin{pmatrix}120&1\\- 1&1\end{pmatrix}.\] Déterminer la matrice $D$ définie par $D = P^{-1} AP$.
On a $P^{-1}A=\dfrac{1}{121}\begin{pmatrix} 120&1\\-0,395&0,395\end{pmatrix}$
Donc $D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0,395\end{pmatrix}$.
$\quad$
4. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $A^n = P D^n P^{-1}$.
Montrons la propriété par récurrence.
Initialisation : Si $n=0$ alors $A^0=I_2$ et $PD^0P^{-1}=I_2=A^0$ où $I_2$ est la matrice identité de taille $2$.
La propriété est vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $p$ : $A^p=PD^pP^{-1}$.
Montrons que la propriété est vraie au rang $p+1$, c’est-à-dire que $A^{p+1}=PD^{p+1}P^{-1}$.
$\begin{align*} A^{p+1}&=A\times A^p \\
&=PDP^{-1}PD^pP^{-1} \\
&=PD^{p+1}P^{-1}
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $p+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $A_n=PD^nP^{-1}$.
$\quad$
5. On admet par la suite que, pour tout entier naturel $n$, \[A^n = \dfrac{1}{121}\begin{pmatrix}120 + 0,395^n&1 - 0,395^n\\120\left(1 - 0,395^n\right)&1 + 120 \times 0,395^n\end{pmatrix}.\] En déduire une expression de $a_n$ en fonction de $n$.
On a, pour tout entier naturel $n$ :
$X_n=X_0A^n=\dfrac{1}{121}\begin{pmatrix}120+0,395^n&1-0,395^n\end{pmatrix}$
Par conséquent $a_n=\dfrac{120+0,395^n}{121}$.
$\quad$
6. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Conclure.
$-1<0,395<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,395^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=\dfrac{120}{121}$.
Sur le long terme, la probabilité qu’un atome soit dans un état stable est $\dfrac{120}{121}$.
$\quad$

 

Partie B - Étude d'un second milieu

Dans cette partie, on se place dans un second milieu (milieu 2), dans lequel on ne connaît pas la probabilité que l'atome passe de l'état excité à l'état stable. On note $a$ cette probabilité supposée constante. On sait, en revanche, qu'à chaque nanoseconde, la probabilité qu'un atome passe de l'état stable à l'état excité est $0,01$.

1. Donner, en fonction de $a$, la matrice de transition $M$ dans le milieu 2.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
$\begin{cases} a_{n+1}=0,99a_n+\alpha b_n+ \\0,01a_n+(1-\alpha)b_n\end{cases}$.
La matrice de transition dans le milieu 2 est donc $M=\begin{pmatrix} 0,99 &0,01\\\alpha&1-\alpha \end{pmatrix}$.
$\quad$
2. Après un temps très long, dans le milieu 2, la proportion d'atomes excités se stabilise autour de 2%. On admet qu'il existe un unique vecteur $X$, appelé état stationnaire, tel que $XM = X$, et que $X = \begin{pmatrix}0,98& 0,02\end{pmatrix}$. Déterminer la valeur de $a$.
On a :
$\begin{align*} XM=X &\iff \begin{cases} 0,98=0,98\times 0,99+0,02\alpha \\0,02=0,98\times 0,01+0,02(1-\alpha) \end{cases} \\
&\iff \begin{cases} 0,98=0,970~2+0,02\alpha\\0,02=0,0098+0,02-0,02\alpha \end{cases} \\
&\iff 0,0098=0,02\alpha\\
&\iff \alpha=0,49
\end{align*}$