Baccalauréat S Métropole 22 juin 2018 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

On considère l'équation suivante dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers naturels : \[x^2 - 8y^2 = 1 . \quad(E)\]

1. Déterminer un couple solution $(x~;~y)$ où $x$ et $y$ sont deux entiers naturels.
2. On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}$. On définit les suites d'entiers naturels $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ par : \[x_0 = 1,\: y_0 = 0,\: \text{et pour tout entier naturel }\:n,\: \begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}.\]
   1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_n~;~y_n\right)$ est solution de l'équation $(E)$.
   2. En admettant que la suite $\left(x_n\right)$ est à valeurs strictement positives, démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $x_{n+1} > x_n$.
3. En déduire que l'équation $(E)$ admet une infinité de couples solutions.

Partie B

Un entier naturel $n$ est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier $p$ de $n$,$\:$ $p^2$ divise $n$.

1. Vérifier qu'il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à $10$ qui sont puissants.
   L'objectif de cette partie est de démontrer, à l'aide des résultats de la partie A, qu'il existe une infinité de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d'en trouver quelques exemples.
2. Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. Montrer que l'entier naturel $n = a^2 b^3$ est un nombre puissant.
3. Montrer que si $(x~;~y)$ est un couple solution de l'équation $(E)$ définie dans la partie A, alors $x^2 - 1$ et $x^2$ sont des entiers consécutifs puissants.
4. Conclure quant à l'objectif fixé pour cette partie, en démontrant qu'il existe une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.
   Déterminer deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à $2018$.