Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Annales STI2D 2013.

Baccalauréat STI 2D Métropole septembre 2013

Exercice 1 4 points


QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

  1. La forme exponentielle du nombre complexe $z = - 5 + 5\mathrm{i}$ est:
    1. $z = 5e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$
    2. $z = 5\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$
    3. $z = 5e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
    4. $z = 5\sqrt{2}e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
  2. Si $z_{1} = 2\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$, alors le produit $z_{1} \times z_{2}$ est un nombre complexe :
    1. de module 4 et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{7}$
    2. de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$
    3. de module 4 et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$
    4. de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{13\pi}{12}$
  3. Le nombre complexe $\dfrac{\sqrt{2} - \mathrm{i}\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \mathrm{i}\sqrt{2}}$ est égal à :
    1. $1$
    2. $\mathrm{i}$
    3. $-1$
    4. $- \mathrm{i}$
  4. Le nombre complexe $z$ de module $2\sqrt{3}$ et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{3}$ a pour forme algébrique :
    1. $\sqrt{3} - 3\mathrm{i}$
    2. $3 - \mathrm{i}\sqrt{3}$
    3. $- \sqrt{3} + 3\mathrm{i}$
    4. $- 3 + \mathrm{i}\sqrt{3}$

 


Correction de l'exercice 1 (4 points)


QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

  1. La forme exponentielle du nombre complexe $z = - 5 + 5\mathrm{i}$ est:
    1. $z = 5e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$
    2. $z = 5\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$
    3. $z = 5e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
    4. $z = 5\sqrt{2}e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
    • Module : $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt 2 $
    • Argument: $$\left\{ \begin{array}{l } \cos(\theta)=\dfrac{a}{r}= \dfrac{-5}{5\sqrt 2 }=-\dfrac{\sqrt 2}{2 }\\ \sin(\theta)=\dfrac{b}{r}= \dfrac{5}{5\sqrt 2 }= \dfrac{\sqrt 2}{2 } \end{array} \right.$$
    2. Ainsi $\theta= \dfrac{3\pi}{4}$ convient; on a donc: $$z =\left[5\sqrt 2 ; \dfrac{3\pi}{4}\right] \text{ ou } z =5\sqrt 2 \left [\cos\left ( \dfrac{3\pi}{4}\right )+i\sin\left ( \dfrac{3\pi}{4}\right )\right ]= 5\sqrt 2e^{ i\frac{ 3\pi}{4}}$$
    Réponse b .
  2. Si $z_{1} = 2\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$, alors le produit $z_{1} \times z_{2}$ est un nombre complexe :
    1. de module 4 et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{7}$
    2. de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$
    3. de module 4 et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$
    4. de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{13\pi}{12}$
    3. $$\begin{array}{ll}z_{1} \times z_{2} &= 2\sqrt{2} \times \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}} \times \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}\\& = 4\text{e}^{\text{i}\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3}\right)}\\& = 4 \text{e}^{\frac{9\pi}{12} - \frac{4\pi}{12}}\\ &= 4 \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}\end{array}$$
    Réponse c .
  3. Le nombre complexe $\dfrac{\sqrt{2} - \mathrm{i}\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \mathrm{i}\sqrt{2}}$ est égal à :
    1. $1$
    2. $\mathrm{i}$
    3. $-1$
    4. $- \mathrm{i}$
    4. $$\begin{array}{ll}\dfrac{\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}} &= \dfrac{\left(\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)} \\&= \dfrac{2 - 2 - 4\text{i}}{2 + 2}\\& = - \text{i}\end{array}$$
    Réponse d.
  4. Le nombre complexe $z$ de module $2\sqrt{3}$ et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{3}$ a pour forme algébrique :
    1. $\sqrt{3} - 3\mathrm{i}$
    2. $3 - \mathrm{i}\sqrt{3}$
    3. $- \sqrt{3} + 3\mathrm{i}$
    4. $- 3 + \mathrm{i}\sqrt{3}$
    5. $$\begin{array}{ll}2\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} &= 2\sqrt{3}\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3}\right)\\& = 2\sqrt{3}\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\frac{1}{2}\right)\\& = - 3 + \text{i}\sqrt{3}\end{array}$$
    Réponse d.

Exercice 2 4 points


Probabilités

Une entreprise fabrique en grande série des barres de pâte d'amande. La masse annoncée sur leur emballage est de 125grammes. La machine qui fabrique les barres de pâte d'amande est préréglée afin que ces dernières respectent la masse de 125grammes avec une certaine tolérance. Une barre de pâte d'amande est dite conforme lorsque sa masse est comprise dans un intervalle de tolérance de $[124;127,5]$.

  1. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à une barre de pâte d'amande prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Le service qualité estime que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 125,5 et d'écart type 0,75.
    1. Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard ait une masse supérieure à 125,5 grammes.
    2. Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit conforme.
    3. En déduire la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit non conforme.
    On utilisera éventuellement le tableau suivant présentant le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques événements pour une loi normale d'espérance $125,5$ et d'écart type $0,75$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline a & p(X \leqslant a) & & a & p(X\leqslant a) & & a & p(X \leqslant a) & & a & p(X \leqslant a)\\ \hline 122,00 & 0,0000015 & & 123,50 & 0,0038304& & 125,00 & 0,2524925& & 126,50 & 0,9087888\\ \hline 122,25& 0,0000073& & 123,75 & 0,0098153& & 125,25 & 0,3694413& & 126,75 & 0,9522096\\ \hline 122,50& 0,0000317& & 124,00 & 0,0227501& & 125,50 & 0,5000000& & 127,00 & 0,9772499\\ \hline 122,75& 0,0001229& & 124,25 & 0,0477904& & 125,75 & 0,6305587& & 127,25 & 0,9901847\\ \hline 123,00& 0,0004291& & 124,50 & 0,0912112& & 126,00 & 0,7475075& & 127,50 & 0,9961696\\ \hline 123,25& 0,0013499& & 124,75 & 0,1586553& & 126,25 & 0,8413447& & 127,75& 0,9986501\\ \hline \end{array}$$
  2. Lors d'un contrôle, le responsable qualité prélève de façon aléatoire un échantillon de 300 barres de pâte d'amande dans la production et constate que 280 barres de pâte d'amande sont conformes. On admet que, lorsque la machine est correctement réglée, la proportion de barres de pâte d'amande conformes dans l'ensemble de la production est de 97$\,\%$. On souhaite savoir si le réglage de la machine peut être jugé satisfaisant.
    1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\%$ de la fréquence des barres de pâte d'amande de masse conforme obtenue sur un échantillon de taille 300 (les bornes de l'intervalle seront arrondis à $10^{-3}$ près).
    2. Le résultat obtenu lors du contrôle qualité remet-il en question le réglage de la machine?

 


Correction de l'exercice 2 (4 points)


Probabilités

Une entreprise fabrique en grande série des barres de pâte d'amande. La masse annoncée sur leur emballage est de 125grammes. La machine qui fabrique les barres de pâte d'amande est préréglée afin que ces dernières respectent la masse de 125grammes avec une certaine tolérance. Une barre de pâte d'amande est dite conforme lorsque sa masse est comprise dans un intervalle de tolérance de $[124;127,5]$.

  1. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à une barre de pâte d'amande prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Le service qualité estime que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 125,5 et d'écart type 0,75.
    1. Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard ait une masse supérieure à 125,5 grammes.
      • Méthode 1 : Par lecture de la table : $p(X > 125,5) = 0,500$.
      • Méthode 2 : Comme $X$ suit la loi normale d'espérance 125,5 on a sans calcul : $p(X > 125,5)=p(X > \mu)= 0,500$
      • Méthode 3 :

         

        2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
        Avec une calculatrice de type TI

        $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

        $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
    2. Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit conforme.
      • Méthode 1:

        2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
        Avec une calculatrice de type TI

        $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

        $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

         

      • Méthode 2 : $X$ doit être comprise entre 124 et 127,5 ces deux nombres compris.
        $p(X < 124) = 0,0227501 $ et $p(X > 127,5) = 1 - 0,9961696 = 0,0038304 $.
        Or $p(X < 124) = 0,0227501 $ et $p(X > 127,5) = 1 - 0,9961696 = 0,0038304 $. Donc $p(124 \leqslant X \leqslant 127,5) = 1 - 0,0227501 - 0,0038304 = 0,97342 \approx 0,973$.
    3. En déduire la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit non conforme.
      4. On a $p(X < 124) + p(X > 127,5) = 0,0038304 + 0,0038304 \approx 0,0266 $.
    On utilisera éventuellement le tableau suivant présentant le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques événements pour une loi normale d'espérance $125,5$ et d'écart type $0,75$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline a & p(X \leqslant a) & & a & p(X\leqslant a) & & a & p(X \leqslant a) & & a & p(X \leqslant a)\\ \hline 122,00 & 0,0000015 & & 123,50 & 0,0038304& & 125,00 & 0,2524925& & 126,50 & 0,9087888\\ \hline 122,25& 0,0000073& & 123,75 & 0,0098153& & 125,25 & 0,3694413& & 126,75 & 0,9522096\\ \hline 122,50& 0,0000317& & 124,00 & 0,0227501& & 125,50 & 0,5000000& & 127,00 & 0,9772499\\ \hline 122,75& 0,0001229& & 124,25 & 0,0477904& & 125,75 & 0,6305587& & 127,25 & 0,9901847\\ \hline 123,00& 0,0004291& & 124,50 & 0,0912112& & 126,00 & 0,7475075& & 127,50 & 0,9961696\\ \hline 123,25& 0,0013499& & 124,75 & 0,1586553& & 126,25 & 0,8413447& & 127,75& 0,9986501\\ \hline \end{array}$$
  2. Lors d'un contrôle, le responsable qualité prélève de façon aléatoire un échantillon de 300 barres de pâte d'amande dans la production et constate que 280 barres de pâte d'amande sont conformes. On admet que, lorsque la machine est correctement réglée, la proportion de barres de pâte d'amande conformes dans l'ensemble de la production est de 97$\,\%$. On souhaite savoir si le réglage de la machine peut être jugé satisfaisant.
    1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\%$ de la fréquence des barres de pâte d'amande de masse conforme obtenue sur un échantillon de taille 300 (les bornes de l'intervalle seront arrondis à $10^{-3}$ près).

      2. La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
      Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

      En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


      L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

      $$I_{300}=\left[0,95; 0,996\right]$$
    2. Le résultat obtenu lors du contrôle qualité remet-il en question le réglage de la machine?
      3. Sur 300 barres, 280 sont conformes, soit une fréquence de $\dfrac{280}{300} \approx 0,93$ : cette fréquence n'appartient pas à l'intervalle de confiance.
      La machine doit être réglée.

 


Exercice 3 6 points


Suites

Depuis 2000, l'Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d'azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2000, la norme tolérée était fixée à 635milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L'objectif de l'Union Européenne est d'atteindre une émission de polluants inférieure à 100milligrammes par kilomètre. La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2000, sa baisse est de 11,7$\,\% $par an.

    1. Justifier que la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001.
    2. Un véhicule émettait 500 milligrammes par kilomètre en 2002. Indiquer, en justifiant, s'il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.
  2. Dans le cadre d'une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif. Louise a amorcé l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l|}\hline \text{Variables}\\ \qquad n :\text{ un nombre entier naturel} \\ \qquad p : \text{ un nombre réel }\\ \text{Initialisation}\\ \qquad \text{Affecter à } n \text{la valeur 0}\\ \qquad \text{ Affecter à } p \text{la valeur 635 }\\ \text{Traitement}\\ \qquad \text{ Tant que } \ldots\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à }n \text{ la valeur } n + 1\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à } p \text{ la valeur } 0,883 \times p\\ \qquad \text{ Fin Tant que }\\ \text{Sortie}\\ \qquad \text{ Afficher }\ldots\\ \hline \end{array}$$
    1. Expliquer l'instruction « Affecter à $p$ la valeur $0,883 \times p$ » .
    2. Deux lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l'année recherchée.
  3. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la norme tolérée, exprimée en milligrammes l'année $(2000 + n)$. On a ainsi $u_{0} = 635$.
    1. Établir que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
  4. Déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif.

 


Correction de l'exercice 3 (6 points)


Suites

Depuis 2000, l'Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d'azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2000, la norme tolérée était fixée à 635milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L'objectif de l'Union Européenne est d'atteindre une émission de polluants inférieure à 100milligrammes par kilomètre. La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2000, sa baisse est de 11,7$\,\% $par an.

    1. Justifier que la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001.
      2. La norme tolérée en 2001 était : $635\times \left (1-\dfrac{11,7}{100}\right )=560,705$
      Ainsi, la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001.
    2. Un véhicule émettait 500 milligrammes par kilomètre en 2002. Indiquer, en justifiant, s'il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.
      3. La norme tolérée était d'environ 495 milligrammes par kilomètre en 2002. Ce véhicule ne respectait pas la norme tolérée cette année-là.
  2. Dans le cadre d'une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif. Louise a amorcé l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l|}\hline \text{Variables}\\ \qquad n :\text{ un nombre entier naturel} \\ \qquad p : \text{ un nombre réel }\\ \text{Initialisation}\\ \qquad \text{Affecter à } n \text{la valeur 0}\\ \qquad \text{ Affecter à } p \text{la valeur 635 }\\ \text{Traitement}\\ \qquad \text{ Tant que } \ldots\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à }n \text{ la valeur } n + 1\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à } p \text{ la valeur } 0,883 \times p\\ \qquad \text{ Fin Tant que }\\ \text{Sortie}\\ \qquad \text{ Afficher }\ldots\\ \hline \end{array}$$
    1. Expliquer l'instruction « Affecter à $p$ la valeur $0,883 \times p$ » .
      2. Soit $p$, la norme tolérée, exprimée en milligrammes l'année de rang $n$. L'année suivante, la norme tolérée, exprimée en milligrammes est $p\times \left (1-\dfrac{11,7}{100}\right )=0,883\times p$
    2. Deux lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l'année recherchée.
      3. $$\begin{array}{|l|}\hline \text{Variables}\\ \qquad n :\text{ un nombre entier naturel} \\ \qquad p : \text{ un nombre réel }\\ \text{Initialisation}\\ \qquad \text{Affecter à } n \text{la valeur 0}\\ \qquad \text{ Affecter à } p \text{la valeur 635 }\\ \text{Traitement}\\ \qquad \text{ Tant que } p\geq 100\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à }n \text{ la valeur } n + 1\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à } p \text{ la valeur } 0,883 \times p\\ \qquad \text{ Fin Tant que }\\ \text{Sortie}\\ \qquad \text{ Afficher }2000+n\\ \hline \end{array}$$
  3. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la norme tolérée, exprimée en milligrammes l'année $(2000 + n)$. On a ainsi $u_{0} = 635$.
    1. Établir que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
      2. Pour tout entier naturel $n, u_{n+1}=u_n\times \left (1-\dfrac{11,7}{100}\right )=0,883\times u_n$
      Ainsi, $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,883.
    2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
      3. $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=635$ et de raison $q=0,883$ donc :
      pour tout entier naturel $n, u_n=635\times 0,883^n$.
  4. Déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif.
    5. On cherche à déterminer le plus petit entier $n$ tel que : $635\times 0,883^n\leq 100$.
    En exécutant l'algorithme sur la calculatrice ou en programmant la suite $(u_n)$ sur la calculatrice, on, obtient :$n=15$.
    L'Union Européenne atteindra son objectif à partir de 2015.
    Remarque, on peut bien sûr le faire par un calcul direct :Pour cela, résolvons $u_n \leqslant 100$ $$\begin{array}{ll} u_n \leqslant 100& \iff 635\times 0,883^n \leqslant 100\\ &\iff 0,883^n \leqslant \dfrac{100}{635} \\ &\iff \ln \left(0,883^n\right) \leqslant \ln\left(\dfrac{100}{635}\right)\\ &\iff n \ln 0,883 \leqslant \ln\left(\dfrac{20}{127}\right) \\ &\iff n \geqslant \dfrac{\ln\left(\dfrac{20}{127}\right)}{\ln 0,883 } \qquad \text{car }\ln 0,883 < 0\\ \end{array}$$ $$\dfrac{\ln\left(\dfrac{20}{127}\right)}{\ln 0,883 } \approx 14.85$$ Au bout de 15 ans, c'est-à dire en 2015, l'Union Européenne atteindra son objectif.

     


    Exercice 4 6 points


    Fonctions exponentielles

    Un architecte veut établir les plans d'un hangar pour ballon dirigeable. La forme de la façade avant de ce hangar et les points O, A, B, S, H et K sont donnés sur le schéma ci-dessous.

    Cette façade avant est symétrique par rapport au segment vertical $[\mathrm{OS}]$ et $\mathrm{OH} = 30 \mathrm{m}$. L'arc $\overset{\displaystyle\frown}{SA}$ de la façade avant correspond à une partie de la représentation graphique d'une fonction définie sur l'intervalle $[0;60]$, dans un repère orthonormal direct d'origine O du plan, l'unité étant le mètre. Le cahier des charges impose les quatre conditions suivantes :

    • $\mathrm{OS} = 60$ ;
    • $\mathrm{HK} > 35$ ;
    • la fonction évoquée ci-dessus doit être strictement décroissante sur l'intervalle [0;60] ;
    • $\mathrm{OA} \leqslant 60$.
    Partie A- Étude d'une fonction numérique
    1. Vérifier que la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;60]$ par $f(x) = 80 - 20e^{0,025x}$ vérifie les trois premières conditions du cahier des charges.
    2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur décimale approchée à $10^{- 1}$ près par excès du réel $a$ qui vérifie $f(a) = 0$. Vérifier que la quatrième condition du cahier des charges est remplie.
    Partie B- Calcul d'intégrale et application
      1. La fonction $F$ est définie sur l'intervalle $[0;60]$ par $F(x) = 80x - 800e^{0,025x}$. Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;60]$.
      2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $J = \displaystyle\int_{0}^{55,5} f(x) \;d x$.
      3. Donner la valeur approchée, arrondie à $10^{- 2}$ près de $J$.
    2. On souhaite peindre la surface extérieure de la façade avant.
      1. Déterminer à $10^{-2}$ près l'aire de cette surface exprimée en $\mathrm{m}^2$.
      2. La peinture utilisée pour peindre la surface extérieure de la façade avant est vendue en bidons de 68 litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 0,2 mètre carré par litre, combien de bidons sont nécessaires pour peindre la surface extérieure de la façade avant ?

    Exercice 4 6 points


    Fonctions exponentielles

    Un architecte veut établir les plans d'un hangar pour ballon dirigeable. La forme de la façade avant de ce hangar et les points O, A, B, S, H et K sont donnés sur le schéma ci-dessous.

    Cette façade avant est symétrique par rapport au segment vertical $[\mathrm{OS}]$ et $\mathrm{OH} = 30 \mathrm{m}$. L'arc $\overset{\displaystyle\frown}{SA}$ de la façade avant correspond à une partie de la représentation graphique d'une fonction définie sur l'intervalle $[0;60]$, dans un repère orthonormal direct d'origine O du plan, l'unité étant le mètre. Le cahier des charges impose les quatre conditions suivantes :

    • $\mathrm{OS} = 60$ ;
    • $\mathrm{HK} > 35$ ;
    • la fonction évoquée ci-dessus doit être strictement décroissante sur l'intervalle [0;60] ;
    • $\mathrm{OA} \leqslant 60$.
    Partie A- Étude d'une fonction numérique
    1. Vérifier que la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;60]$ par $f(x) = 80 - 20e^{0,025x}$ vérifie les trois premières conditions du cahier des charges.
      2. $\bullet~~$OS $ = f(0) = 80 - 20\text{e}^{0}= 80 - 20 = 60$.
      $\bullet~~$HK $ = f(30) = 80 - 20\text{e}^{0,025 \times 30} = 80 - 20\text{e}^{0,75} \approx 37,7 > 35$.
      $\bullet~~$$f'(x) = - 20 \times 0,025 \text{e}^{0,025x} = - 0,5\text{e}^{0,025x}$. Comme $\text{e}^{0,025x} > 0$ quel que soit le réel $x$, $f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0~;~60]$.
    2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur décimale approchée à $10^{- 1}$ près par excès du réel $a$ qui vérifie $f(a) = 0$. Vérifier que la quatrième condition du cahier des charges est remplie.
      3. La calculatrice donne : $f(55) \approx 0,9 ; f(56) \approx -1$, donc $55 < a < 56$. $f(55,4) \approx 0,1$ et $f(55,5) \approx - 0,1$, donc $55,4 < a < 55,5$.
    Partie B- Calcul d'intégrale et application
      1. La fonction $F$ est définie sur l'intervalle $[0;60]$ par $F(x) = 80x - 800e^{0,025x}$. Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;60]$.
        2. On calcule sur $[0~;~60] F'(x) = 80 - 800 \times 0,025\text{e}^{0,025x} = 80 - 20\text{e}^{0,025x} = f(x)$ : $F$ est donc bien une primitive de $f$ sur l'intervalle [0~;~60].
      2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $J = \displaystyle\int_{0}^{55,5} f(x) \;d x$.
        3. $$\begin{array}{ll}J &= \displaystyle\int_{0}^{55,5} f(x)\:\text{d}x \\ &= \left[F(x) \right]_{0}^{55,5} \\&= F(55,5) - F(0)\\& = 80 \times 55,5 - 800\text{e}^{0,025 \times 55,5} - \left(80 \times 0 - 800\text{e}^{0,025\times 0} \right)\\& = 4440 - 800\text{e}^{ 1,3875 } + 800 = 5240 - 800\text{e}^{ 1,3875 } \end{array} $$
        $\displaystyle\int_{0}^{55,5} f(x)\:\text{d}x = 5240 - 800\text{e}^{ 1,3875 }$
      3. Donner la valeur approchée, arrondie à $10^{- 2}$ près de $J$.
    2. On souhaite peindre la surface extérieure de la façade avant.
      1. Déterminer à $10^{-2}$ près l'aire de cette surface exprimée en $\mathrm{m}^2$.
        2. L'aire $\mathcal{A}$ de la surface à peindre est égale à :$\mathcal{A} = 2 J \approx 2 \times 2036,14 $, soit
        $\mathcal{A} \approx 4072,28 $ m$^2$.
      2. La peinture utilisée pour peindre la surface extérieure de la façade avant est vendue en bidons de 68 litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 0,2 mètre carré par litre, combien de bidons sont nécessaires pour peindre la surface extérieure de la façade avant ?
        3. Un bidon permet de peindre $68 \times 0,2 = 13,6$ m$^2$. Pour peindre $ 4072,28 $ m$^2$ il faudra donc : $\dfrac{ 4072,28 }{13,6} \approx 299,4$.
        Il faudra donc 300 bidons de peinture.