Limites de suites - Exercices TaleS

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Exercice 17
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0 $ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 5}$.

1. Montrer que cette suite est croissante.
2. Montrer que pour tout entier $n, 0 \leq u _n \leq 3$. En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $l$.
3. Déterminer la limite $l$ de la suite $(u_n)$ .

Exercice 18
Soit la suite $u$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier $n$, par $ u_{n+1} = 4 -\dfrac{3}{u_n}$ .

1. 1. Dans un repère orthonormal (unité graphique 4cm), tracer la droite d’équation $y = x$ et la courbe $C_f$ représentant la fonction $f $définie sur $]0;+\infty[$ par l’expression $f(x) = 4 -\dfrac{3}{x}$ .
   2. Placer sur l’axe des abscisses, et sans effectuer aucun calcul, les termes $u_0, u_1, u_2$ et $u_3$.
   3. Quelle conjecture peut-on faire sur la suite $u$.
2. 1. Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}, 2 \leq u_n \leq 3$.
   2. Démontrer que la suite $u$ est croissante, et en déduire qu’elle converge.
   3. Déterminer alors la limite de la suite $u$.

Exercice 19
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier $n, u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{3 + 2u_n}$ .
Pour tout entier $n$, on pose $v_n =\dfrac{3}{u_n}$ .

1. Démontrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique.
2. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Exercice 20

1. Soit $a$ un réel strictement positif.
   Démontrer par récurrence que pour tout entier $n, (1 + a)^n \geq 1 + na$.
2. Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0 > 0$ et de raison $q > 1$. Déterminer la limite de $(v_n)$

Exercice 21
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u0 = 2$ et, pour tout entier $n, u_{n+1} =\dfrac{1}{4}u_n +6$ et la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par vn = un - 8.

1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
2. En déduire l’expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
3. Déterminer les limites des suites $(v_n)$ et $(u_n)$.

Exercice 22
Soit la suite $u$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier $n, u_{n+1} =\dfrac{5u_n - 1}{u_n + 3}$ .
1ère méthode

1. vérifier que pour tout $n \in \mathbb{N} , u_{n+1} = 5 -\dfrac{16}{u_n + 3}$ .
2. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}, u_n \in [1; 2]$.
3. Etablir la relation $u_{n+1} - u_n = -\dfrac{(u_n - 1)^2}{u_n + 3}$ , et en déduire le sens de variation de $u$.
4. Démontrer que $u$ converge et déterminer sa limite $l$.

2ème méthode
On considère la suite $v$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$, par $v_n =\dfrac{1}{u_n - 1}$ .

1. Prouver que $v$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{4}$.
2. Exprimer pour tout $n, v_n$ puis $u_n$ en fontion de $n$.
3. En déduire la convergence de $u$ et sa limite.