Baccalauréat S Amérique du Nord 29 mai 2018 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les deux graphiques donnés en annexe seront à compléter et à rendre avec la copie.
Un scooter radio commandé se déplace en ligne droite à la vitesse constante de 1 m.s$^{-1}$. Il est poursuivi par un chien qui se déplace à la même vitesse. On représente la situation vue de dessus dans un repère orthonormé du plan d'unité 1 mètre. L'origine de ce repère est la position initiale du chien. Le scooter est représenté par un point appartenant à la droite d'équation $x = 5$. Il se déplace sur cette droite dans le sens des ordonnées croissantes.
Dans la suite de l'exercice, on étudie deux modélisations différentes de la trajectoire du chien.

Partie A - Modélisation à l'aide d'une suite

La situation est représentée par le graphique no 1 donné en annexe. À l'instant initial, le scooter est représenté par le point $S_0$. Le chien qui le poursuit est représenté par le point $M_0$. On considère qu'à chaque seconde, le chien s'oriente instantanément en direction du scooter et se déplace en ligne droite sur une distance de 1 mètre. Ainsi, à l'instant initial, le chien s'oriente en direction du point $S_0$, et une seconde plus tard il se trouve un mètre plus loin au point $M_1$. À cet instant, le scooter est au point $S_1$. Le chien s'oriente en direction de $S_1$ et se déplace en ligne droite en parcourant 1 mètre, et ainsi de suite. On modélise alors les trajectoires du chien et du scooter par deux suites de points notées $\left(M_n\right)$ et $\left(S_n\right)$. Au bout de $n$ secondes, les coordonnées du point $S_n$ sont $(5~;~n)$. On note $\left(x_n~;~y_n\right)$ les coordonnées du point $M_n$.

1. Construire sur le graphique no 1 donné en annexe les points $M_2$ et $M_3$.
2. On note $d_n$ la distance entre le chien et le scooter $n$ secondes après le début de la poursuite. On a donc $d_n = M_nS_n$. Calculer $d_0$ et $d_1$.
3. Justifier que le point $M_2$ a pour coordonnées $\left(1 + \dfrac{4}{\sqrt{17}}~;~\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)$.
4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ :  \[\left\{\begin{array}{l c l} x_{n+1}& = &x_n + \dfrac{5 - x_n}{d_n}\\ y_{n+1}&=&y_n + \dfrac{n - y_n}{d_n} \end{array}\right.\]
   1. Le tableau ci-dessous, obtenu à l'aide d'un tableur, donne les coordonnées des points $M_n$ et $S_n$ ainsi que la distance $d_n$ en fonction de $n$. Quelles formules doit-on écrire dans les cellules C5 et F5 et recopier vers le bas pour remplir les colonnes C et F ?
      
   2. On admet que la suite $\left(d_n\right)$ est strictement décroissante. Justifier que cette suite est convergente et conjecturer sa limite à l'aide du tableau.

 

Partie B - Modélisation à l'aide d'une fonction

On modélise maintenant la trajectoire du chien à l'aide de la courbe $\mathcal{F}$ de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~5[ par: \[f(x) = -2,5\ln (1 - 0, 2x) - 0,5x + 0,05x^2.\]
Cela signifie que le chien se déplace sur la courbe $\mathcal{F}$ de la fonction $f$.

1. Lorsque le chien se trouve au point $M$ de coordonnées $(x~;~f(x))$ de la courbe $\mathcal{F}$, où $x$ appartient à l'intervalle $[0~;~5[$, le scooter se trouve au point $S$, d'ordonnée notée $y_S$.
   Ainsi le point $S$ a pour coordonnées $\left(5~;~y_S\right)$. La tangente à la courbe $\mathcal{F}$ au point $M$ passe par le point $S$.
   Cela traduit le fait que le chien s'oriente toujours en direction du scooter. On note $d(x)$ la distance $MS$ entre le chien et le scooter lorsque $M$ a pour abscisse $x$.
   1. Sur le graphique  no 2 donné en annexe, construire, sans calcul, le point $S$ donnant la position du scooter lorsque le chien se trouve au point d'abscisse 3 de la courbe $\mathcal{F}$ et lire les coordonnées du point $S$.
   2. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~5[ et on admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~5[ : \[f'(x) = \dfrac{x(1 - 0,1x)}{5 - x}.\] Déterminer par le calcul une valeur approchée au centième de l'ordonnée du point $S$ lorsque le chien se trouve au point d'abscisse 3 de la courbe $\mathcal{F}$.
2. On admet que $d(x) = 0,1x^2 - x + 5$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~5[$. Justifier qu'au cours du temps la distance $MS$ se rapproche d'une valeur limite que l'on déterminera.

 

Partie A, question 1 Graphique n°1

Partie A, question 1 Graphique n°2