Baccalauréat S Centres étrangers 11 juin 2018 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH. Les trois points I, J, K sont définis par les conditions suivantes :

• I est le milieu du segment [AD] ;
• J est tel que $\vec {\text{AJ}} = \dfrac{3}{4} \vec {\text{AE}}$ ;
• K est le milieu du segment [FG].

Partie A

 

1. Sur la figure donnée en annexe, construire sans justifier le point d'intersection P du plan (IJK) et de la droite (EH). On laissera les traits de construction sur la figure.
2. En déduire, en justifiant, l'intersection du plan (IJK) et du plan (EFG).

 

Partie B

On se place désormais dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}}, \vec{\text{AD}}, \vec{\text{AE}}\right)$.

1. 1. Donner sans justification les coordonnées des points I, J et K.
   2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que le vecteur $\vec {n} (4~;~a~;~b)$ soit orthogonal aux vecteurs $\vec {\text{IJ}}$ et $\vec {\text{IK}}$.
   3. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est : $4x - 6y - 4z + 3 = 0$.
2. 1. Donner une représentation paramétrique de la droite (CG).
   2. Calculer les coordonnées du point N, intersection du plan (IJK) et de la droite (CG).
   3. Placer le point N sur la figure et construire en couleur la section du cube par le plan (IJK).

 

Partie C

On note R le projeté orthogonal du point F sur le plan (IJK). Le point R est donc l'unique point du plan (IJK) tel que la droite (FR) est orthogonale au plan (IJK). On définit l'intérieur du cube comme l'ensemble des points $M(x~;~y~;~z)$ tels que $\left\{\begin{array}{l} 0 < x < 1\\ 0 < y < 1\\ 0 < z < 1 \end{array}\right.$ Le point R est-il à l'intérieur du cube ?

Annexe