Baccalauréat S Antilles Guyane19 juin 2018 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Fonctions

Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt:

Il dessine ce logo à l'aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb R$ par: \[ f(x)=\text{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1)\text{ et } g(x)=-\text{e}^{-x}\cos x. \] On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\mathbb R$.

Partie A — Étude de la fonction $f$

 

1. Justifier que, pour tout $x\in\mathbb R$:\[ -\text{e}^{-x}\leqslant f(x)\leqslant 3\text{e}^{-x}.\]
2. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
3. Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f'(x)=\text{e}^{-x}(2\cos x-1)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
4. Dans cette question, on étudie la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
   1. Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
   2. En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$.

 

Partie B — Aire du logo

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. L'unité graphique est de 2 centimètres. Ces deux courbes sont tracées en ANNEXE.

1. Étudier la position relative dela courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la courbre $\mathcal{C}_g$ sur $\mathbb R$.
2. Soit $H$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par: \[ H(x)=\left(-\frac{\cos x}{2}-\frac{\sin x}{2}-1\right)\text{e}^{-x}. \] On admet que $H$ est une primitive de la fonction $x\mapsto (\sin x+1)\text{e}^{-x}$ sur $\mathbb R$ . On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la courbe $\mathcal{C}_g$ est les droites d'équation $x=-\frac{\pi}{2}$ et $x=\frac{3\pi}{2}$.
   1. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique en annexe à rendre avec la copie.
   2. Calculer, une unité d'aire, l'aire du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près en cm$^{2}$.

ANNEXE