Baccalauréat S Polynésie 20 juin 2018 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un atome d'hydrogène peut se trouver dans deux états différents, l'état stable et l'état excité. À chaque nanoseconde, l'atome peut changer d'état.

Partie A - Étude d'un premier milieu

Dans cette partie, on se place dans un premier milieu (milieu 1) où, à chaque nanoseconde, la probabilité qu'un atome passe de l'état stable à l'état excité est $0,005$, et la probabilité qu'il passe de l'état excité à l'état stable est $0,6$. On observe un atome d'hydrogène initialement à l'état stable. On note $a_n$ la probabilité que l'atome soit dans un état stable et $b_n$ la probabilité qu'il se trouve dans un état excité, $n$ nanosecondes après le début de l'observation. On a donc $a_0 = 1$ et $b_0 = 0$. On appelle $X_n$ la matrice ligne $X_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$. L'objectif est de savoir dans quel état se trouvera l'atome d'hydrogène à long terme.

1. Calculer $a_1$ puis $b_1$ et montrer que $a_2 = 0,993\;025 $ et $b_2 = 0,006\;975 $.
2. Déterminer la matrice $A$ telle que, pour tout entier naturel $n$,\: $X_{n+1} = X_n A$. $A$ est appelée matrice de transition dans le milieu 1. On admet alors que, pour tout entier naturel $n$, $X_n = X_0A^n$.
3. On définit la matrice $P$ par $P = \begin{pmatrix}1&-1\\ 1&120\end{pmatrix}$. On admet que $P$ est inversible et que \[P^{-1} = \dfrac{1}{121}\begin{pmatrix}120&1\\- 1&1\end{pmatrix}.\] Déterminer la matrice $D$ définie par $D = P^{-1} AP$.
4. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $A^n = P D^n P^{-1}$.
5. On admet par la suite que, pour tout entier naturel $n$, \[A^n = \dfrac{1}{121}\begin{pmatrix}120 + 0,395^n&1 - 0,395^n\\120\left(1 - 0,395^n\right)&1 + 120 \times 0,395^n\end{pmatrix}.\] En déduire une expression de $a_n$ en fonction de $n$.
6. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Conclure.

 

Partie B - Étude d'un second milieu

Dans cette partie, on se place dans un second milieu (milieu 2), dans lequel on ne connaît pas la probabilité que l'atome passe de l'état excité à l'état stable. On note $a$ cette probabilité supposée constante. On sait, en revanche, qu'à chaque nanoseconde, la probabilité qu'un atome passe de l'état stable à l'état excité est $0,01$.

1. Donner, en fonction de $a$, la matrice de transition $M$ dans le milieu 2.
2. Après un temps très long, dans le milieu 2, la proportion d'atomes excités se stabilise autour de 2%. On admet qu'il existe un unique vecteur $X$, appelé état stationnaire, tel que $XM = X$, et que $X = \begin{pmatrix}0,98& 0,02\end{pmatrix}$. Déterminer la valeur de $a$.