Baccalauréat S Polynésie 20 juin 2018 - Exercice 3

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Exercice 3 4 points


Fonctions


On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par $f(x) = k\text{e}^{-kx}$ où $k$ est un nombre réel strictement positif. On appelle $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans le repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. On considère le point A de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 0 et le point B de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 1. Le point C a pour coordonnées $(1~;~0)$.

  1. Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
  2. Exprimer, en fonction de $k$, l'aire du triangle OCB et celle du domaine $\mathcal{D}$ délimité par l'axe des ordonnées, la courbe $\mathcal{C}_f$ et le segment [OB].
  3. Montrer qu'il existe une unique valeur du réel $k$ strictement positive telle que l'aire du domaine $\mathcal{D}$ vaut le double de celle du triangle OCB.

 

Correction Exercice 3
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