Baccalauréat S Asie 21 juin 2018 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Dans cet exercice, $x$ et $y$ sont des nombres réels supérieurs à 1.
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O}~;~\vec{u},~\vec{v}\right)$, on considère les points A, B et C d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}, \: z_{\text{B}} = x + \text{i}\: \text{ et }\: z_{\text{C}} = y + \text{i}.\]
Ex4

Problème : on cherche les valeurs éventuelles des réels $x$ et $y$, supérieures à 1, pour lesquelles : \[ \text{OC} = \text{OA} \times \text{OB} \quad \text{et}\: \left(\vec{u},~\vec{\text{OB}}\right) + \left(\vec{u},~\vec{\text{OC}}\right) = \left(\vec{u},~\vec{\text{OA}}\right).\]

  1. Démontrer que si $\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB}$, alors $y^2 = 2x^2 + 1$.
  2. Reproduire sur la copie et compléter l'algorithme ci-après pour qu'il affiche tous les couples $(x,~y)$ tels que : \[\left\{\begin{array}{l} y^2 = 2x^2 + 1 \\ x \text{ et } y \text{ sont des nombres entiers } \\ 1 \leqslant x \leqslant 10 \text{ et } 1 \leqslant y \leqslant 10 \\ \end{array}\right.\] $$\begin{array}{ |l|}\hline \text{ Pour } x \text{ allant de 1 à } \ldots \text{ faire }\\ \hspace{0.5cm} \text{ Pour } \ldots\\ \hspace{1cm} \text{ Si }\ldots\\ \hspace{1.5cm} \text{ Afficher } x \text{ et } y \\ \hspace{1cm} \text{Fin Si}\\ \hspace{0.5cm} \text{Fin Pour}\\ \text{Fin Pour}\\ \hline \end{array}$$ Lorsque l'on exécute cet algorithme, il affiche la valeur $2$ pour la variable $x$ et la valeur $3$ pour la variable $y$.
  3. Étude d'un cas particulier : dans cette question seulement, on prend $x = 2$ et $y = 3$.
    1. Donner le module et un argument de $z_{\text{A}}$.
    2. Montrer que $\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB}$.
    3. Montrer que $z_{\text{B}}z_{\text{C}} = 5 z_{\text{A}}$ et en déduire que $\left(\vec{u},~\vec{\text{OB}}\right) + \left(\vec{u},~\vec{\text{OC}}\right) = \left(\vec{u},~\vec{\text{OA}}\right)$.
  4. On revient au cas général, et on cherche s'il existe d'autres valeurs des réels $x$ et $y$ telles que les points A, B et C vérifient les deux conditions: $\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB} \quad \text{et}\: \left(\vec{u},~\vec{\text{OB}}\right) + \left(\vec{u},~\vec{\text{OC}}\right) = \left(\vec{u},~\vec{\text{OA}}\right)$. On rappelle que si $\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB}$, alors $y^2 = 2x^2 + 1$ (question 1.).
    1. Démontrer que si $\left(\vec{u},~\vec{\text{OB}}\right) + \left(\vec{u},~\vec{\text{OC}}\right) = \left(\vec{u},~\vec{\text{OA}}\right)$, alors arg$\left[\dfrac{(x + \text{i})(y + \text{i})}{1 + \text{i}}\right] = 0 \:\text{mod }\: 2\pi$. En déduire que sous cette condition : $x + y - xy + 1 = 0$.
    2. Démontrer que si les deux conditions sont vérifiées et que de plus $x \neq 1$, alors: \[y= \sqrt{2x^2 + 1}\quad \text{et} \: y = \dfrac{x + 1}{x - 1}.\]
  5. On définit les fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \sqrt{2x^2 + 1}\quad \text{et} \: g(x) = \dfrac{x + 1}{x - 1}.\] Déterminer le nombre de solutions du problème initial. On pourra utiliser la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par $h(x) = f(x) - g(x)$ et s'appuyer sur la copie d'écran d'un logiciel de calcul formel donnée ci-dessous. $$\begin{array}{|c|}\hline f(x) := \text{sqrt}(2*x\verb+^+2+1) \\ \hline \hspace{1.5cm} x \to \sqrt{2*x^2+1} \\ \hline \text{deriver}(f) \\ \hline \hspace{1.5cm} x \to \dfrac{2*x}{\sqrt{2*x^2+ 1}} \\ \hline g(x) :=(x+1)/(x-1) \\ \hline \hspace{1.5cm} x \to \dfrac{x + 1}{x - 1} \\ \hline \text{deriver}(g) \\ \hline \hspace{1.5cm} x \to - \dfrac{2}{(x - 1)^2} \\ \hline \end{array}$$
Correction Exercice 4
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