Baccalauréat S Métropole 22 juin 2018 - Correction Spécialité
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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points
Partie A
On considère l'équation suivante dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers naturels : \[x^2 - 8y^2 = 1 . \quad(E)\]
- Déterminer un couple solution $(x~;~y)$ où $x$ et $y$ sont deux entiers naturels. $3^2-8\times 1^2=9-8=1$.
- On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}$. On définit les suites d'entiers naturels $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ par : \[x_0 = 1,\: y_0 = 0,\: \text{et pour tout entier naturel }\:n,\: \begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}.\]
- Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_n~;~y_n\right)$ est solution de l'équation $(E)$. Initialisation : Si $n=0$ alors $1^2-8\times 0^2=1$. Le couple $\left(x_0;y_0\right)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
- En admettant que la suite $\left(x_n\right)$ est à valeurs strictement positives, démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $x_{n+1} > x_n$. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $p$ : $\left(x_p;y_p\right)$ est solution de l’équation $(E)$.
Ainsi $x_p^2-8y_p^2=1$
Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $\left(x_{p+1};y_{p+1}\right)$ est solution de l’équation $(E)$.
On a $\begin{pmatrix} x_{p+1}\\y_{p+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x_p+8y_p\\x_p+3y_p\end{pmatrix}$.
Ainsi :
$\begin{align*} \left(x_{p+1}\right)^2-8\left(y_{p+1}\right)^2 &= \left(3x_p+8y_p\right)^2-8\left(x_p+3y_p\right)^2 \\
&=9{x_p}^2+64{y_p}^2+48x_py_p-8\left({x_p}^2+9{y_p}^2+6x_py_p\right) \\
&=9{x_p}^2+64{y_p}^2+48x_py_p-8{x_p}^2-72{y_p}^2-48x_py_p \\
&={x_p}^2-8{y_p}^2 \\
&=1 \text{ d'après l'hypothèse de récurrence}
\end{align*}$
La propriété est vraie au rang $p+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ le couple $\left(x_n;y_n\right)$ est solution de l’équation $(E)$.
$\quad$
$x_{n+1}-x_n=3x_n+8y_n-x_n=2x_n+8y_n>0$ puisque $x_n$ et $y_n$ sont des entiers naturels et $x_n>0$.
$\quad$ - En déduire que l'équation $(E)$ admet une infinité de couples solutions. La suite $\left(x_n\right)$ est donc une suite strictement croissante d’entiers naturels.
Le couple $(3;1)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
$\quad$
L’équation $(E)$ admet donc une infinité de couples solutions.
$\quad$
Partie B
Un entier naturel $n$ est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier $p$ de $n$,$\:$ $p^2$ divise $n$.
- Vérifier qu'il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à $10$ qui sont puissants.
L'objectif de cette partie est de démontrer, à l'aide des résultats de la partie A, qu'il existe une infinité de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d'en trouver quelques exemples. Le seul nombre premier qui divise $8$ est $2$ et $8$ est divisible par $2^2=4$. - Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. Montrer que l'entier naturel $n = a^2 b^3$ est un nombre puissant. Les diviseurs premiers de $n$ sont les diviseurs premiers de $a$ ou de $b$.
- Montrer que si $(x~;~y)$ est un couple solution de l'équation $(E)$ définie dans la partie A, alors $x^2 - 1$ et $x^2$ sont des entiers consécutifs puissants. Soit $(x;y)$ un couple solution de l’équation $(E)$.
- Conclure quant à l'objectif fixé pour cette partie, en démontrant qu'il existe une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.
Déterminer deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à $2018$. D’après la question A.3. il existe une infinité de couples solutions à l’équation $(E)$.
Le seul nombre premier qui divise $9$ est $3$ et $9$ est divisible par $3^2=9$.
Ces deux entiers consécutifs sont donc puissants.
Soit $p$ un diviseur premier de $a$. Il existe alors un entier naturel $q$ tel que $a=pq$.
Donc $n=p^2q^2b^3$ et $p^2$ divise $n$.
Soit $r$ un diviseur premier de $b$. Il existe alors un entier naturel $s$ tel que $b=rs$.
Donc $n=a^2r^3s^3=a^2r^2rs^3$ et $r^2$ divise $n$.
$n$ est donc un nombre puissant.
Ainsi $x^2-8y^2=1$ soit $x^2-1=8y^2=2^3y^2$.
D’après la question précédente, le nombre $x^2-1$ est puissant.
Les seuls diviseurs premiers de $x^2$ sont les diviseurs premiers de $x$.
Si $p$ est diviseur premier de $x$, il existe alors un entier naturel $q$ tel que $x=pq$.
Donc $x^2=p^2q^2$ et $p^2$ divise $x^2$.
$x^2$ est donc un nombre puissant.
Remarque : On pouvait également dire que $x^2=1^3\times x^2$ et appliquer la propriété précédente.
$\quad$
Ainsi, $x^2-1$ et $x^2$ sont deux entiers naturels consécutifs puissants.
$\quad$
La question précédente nous indique que pour chaque couple solution on peut déterminer deux entiers consécutifs puissants.
Il existe donc une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.
$\quad$
On a, à l’aide de la calculatrice $\begin{pmatrix} x_3\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 99\\35\end{pmatrix}$
Donc $99^2=9~801$ et $99^2-1=9~800$ sont puissants.
$\quad$
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