Baccalauréat S Antilles-Guyane 6 septembre 2018 - Correction Exercice 1

Page 2 sur 10: Correction Exercice 1

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si besoin, à $10^{-3}$.

Partie A

Elsa a préparé un grand saladier de billes de chocolat pour son anniversaire. On y trouve :

• 40 % de billes au chocolat blanc, les autres étant au chocolat noir;
• parmi les billes au chocolat blanc, 60 % sont fourrées au café; les autres sont fourrées au praliné ;
• parmi les billes au chocolat noir, 70 % sont fourrées au café; les autres sont fourrées au praliné.

Un invité prend une bille de chocolat au hasard dans le saladier. On définit les évènements suivants:

• $B$ « l'invité prend une bille au chocolat blanc » ;
• $C$: « l'invité prend une bille fourrée au café ».

1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
On obtient l’arbre de probabilité suivant :


2. Montrer que la probabilité que l'invité prenne une bille fourrée au café vaut $0,66$.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(C)&=p(B\cap C)+p\left(\overline{B}\cap C\right) \\
&=0,4\times 0,6+0,6\times 0,7 \\
&=0,66
\end{align*}$
$\quad$
3. Sachant que la bille est fourrée au café, quelle est la probabilité que l'invité ait pris une bille au chocolat blanc ?
On veut calculer :
$\begin{align*} p_C(B)&=\dfrac{p(B\cap C)}{p(C)} \\
&=\dfrac{0,4\times 0,6}{0,66} \\
&=\dfrac{4}{11}\\
&\approx 0,364
\end{align*}$
$\quad$

Partie B

La société Chococéan commercialise des bonbons au chocolat, qui sont conditionnés en paquets d'environ $250$ g par une machine. La réglementation exige qu'un tel paquet de bonbons au chocolat ait une masse supérieure à $247,5$ g. La dirigeante de l'entreprise constate que, lorsqu'on prélève au hasard un paquet de bonbons au chocolat dans la production, sa masse, en grammes, peut être modélisée par une variable aléatoire $X_1$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu_1 = 251$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

1. Calculer la probabilité qu'un paquet prélevé au hasard dans la production soit conforme à la réglementation.
On veut calculer :
$\begin{align*} p\left(X_1>247,5\right)&=p\left(247,5<X_1<251\right)+0,5 \\
&\approx 0,960
\end{align*}$
La probabilité qu’un paquet prélevé au hasard dans la production soit conforme à la réglementation est donc environ égale à $0,96$.
$\quad$
2. La dirigeante souhaiterait que 98 % des paquets soient conformes à la réglementation. Cela nécessite un nouveau réglage de la machine, afin que la masse, en grammes, du paquet prélevé au hasard soit modélisée par une variable aléatoire $X_2$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu_2$ inconnue et d'écart-type $\sigma = 2$. Déterminer la valeur de $\mu_2$ répondant au souhait de la dirigeante.
La variable $Z=\dfrac{X_2-\mu_2}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
On cherche donc la valeur de $\mu_2$ telle que :
$\begin{align*} p\left(X_2>247,5\right)=0,9&\iff p\left(247,5<X_2<\mu_2\right)+0,5=0,9 \\
&\iff p\left(247,5<X_2<\mu_2\right)=0,4 \\
&\iff p\left(247,5-\mu_2<X_2-\mu_2<0\right)=0,4\\
&\iff p\left(247,5-\mu_2<X_2-\mu_2<\mu_2-247,5\right)=0,8\\
&\iff p\left(\dfrac{247,5-\mu_2}{2}<\dfrac{X_2-\mu_2}{2}<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=0,8\\
&\iff p\left(\dfrac{247,5-\mu_2}{2}<Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=0,8\\
&\iff 2p\left(Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)-1=0,8\\
&\iff 2p\left(Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=1,8\\
&\iff p\left(Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=0,9
\end{align*}$
À l’aide de la calculatrice on trouve $\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\approx 1,282$.
Donc $\mu_2 \approx 250,064$.
$\quad$

Partie C

On a $n=256$ et $p=0,98$.
Donc $n\geq 30$, $np=250,88\geq 5$ et $n(1-p)=5,12\geq 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :

$\begin{align*} I_{256}&=\left[0,98-1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{256}};0,98+1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{256}}\right] \\
&\approx [0,962;0,998]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{248}{256}=0,968~75 \in I_{256}$.

Le résultat de ce contrôle ne remt donc pas en question l’affirmation de la dirigente.
$\quad$