Baccalauréat S Amérique du Sud --12 novembre 2018 - Exercice 5

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Exercice 5 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Soit $k$ un réel strictement positif. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$, $u_1 = k$ et, pour tout entier naturel $n$ par : \[u_{n+2} = \dfrac{u^2_{n+1}}{k u_n}.\]
On admet que tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ existent et sont strictement positifs.

1. Exprimer $u_2$, $u_3$ et $u_4$ en fonction de $k$.
2. À l'aide d'un tableur, on a calculé les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ pour deux valeurs de $k$. La valeur du réel $k$ est entrée dans la cellule E2. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D &E & &A &B&C&D&E\\ \hline 1& n & u(n) & & & &1 & n & u(n) & &&\\ \hline 2& 0 &1 & &k= & 2,7182818 &2& 0& 1& & k= &0,9\\ \hline 3& 1 & 2,7182818 & & & &3 &1 &0,9 &&&\\ \hline 4& 2 & 2,7182818 & & & &4 &2 & 0,9 &&&\\ \hline 5& 3 &1 & & & &5 &3 &1 &&&\\ \hline 6& 4 & 0,1353353 & & & &6 &4 & 1,2345679 &&&\\ \hline 7& 5 & 0,0067319 & & & &7 &5 & 1,6935088 &&&\\ \hline 8& 6 & 0,0001234 & & & &8 &6 & 2,5811748 &&&\\ \hline 9& 7 &8,315E -07 & & & &9 &7 & 4,3712422&&&\\ \hline 10& 8 &2,061E -09 & & & &10 &8 & 8,2252633 &&&\\ \hline 11& 9 &1,88E -12 & & & &11 &9 & 17,196982 &&&\\ \hline 12& 10 &6,305E -16 & & & &12 &10 & 39,949576 &&&\\ \hline 13& 11 &7,781E-20 & & & &13 &11 & 103,11684 &&&\\ \hline 14& 12 &3,533E-24 & & & &14 &12 & 295,7362&&&\\ \hline 15&13 &5,9E-29 & & & &15 &13 & 942,40349 &&&\\ \hline 16&14 &3,625E-34 & & & &16 &14 & 3336,7738 &&&\\ \hline \end{array}$$
   1. Quelle formule, saisie dans la cellule B4, permet par recopie vers le bas de calculer tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ?
   2. Conjecturer, dans chaque cas, la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

 

Dans la suite, on suppose que $k = \:$ e.

On a donc $u_0 = 1,\: u_1 = \text{e }$ et, pour tout entier nature $n \::\: u_{n+2} = \dfrac{u^2_{n+1}}{{\rm e}u_n}$.

1. On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_n\right)$ par : $v_n = \ln \left(u_{n+1}\right) - \ln \left(u_n\right)$.
   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $- 1$ et de premier terme $v_0 = 1$.
   2. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
2. On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul la suite $\left(S_n\right)$ par $S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_{n-1}$.
   1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $S_n = \dfrac{n(3 - n)}{2}$.
   2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $S_n = \ln \left(u_n\right)$.
3. 1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   2. Trouver la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < 10^{-50}$ par la méthode de votre choix (écriture d'un algorithme, résolution d'inéquation, etc.)