Baccalauréat S Liban 5 juin 2017 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


L'épicéa commun est une espèce d'arbre résineux qui peut mesurer jusqu'à 40 mètres de hauteur et vivre plus de $150$ans. L'objectif de cet exercice est d'estimer l'âge et la hauteur d'un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à 1,30 m du sol.

Partie A - Modélisation de l'âge d'un épicéa


Pour un épicéa dont l'âge est compris entre $20$ et $120$ans, on modélise la relation entre son âge (en années) et le diamètre de son tronc (en mètre) mesuré à $1,30$m du sol par la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0;1[ par : \[f(x) = 30 \ln \left(\dfrac{20x}{1 - x}\right)\] où $x$ désigne le diamètre exprimé en mètre et $f(x)$ l'âge en années.

  1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0;1[$.
  2. On appelle $g$ la fonction définie sur $]0;1[$ par $g'(x)=\dfrac{20x}{1-x}$.
    Cette fonction est dérivable sur $]0;1[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $g'(x)=20\times \dfrac{1-x+x}{(1-x)^2}=\dfrac{20}{(1-x)^2}$.
    La fonction $f$ est dérivable sur $]0;1[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;1[$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=30\times \dfrac{\dfrac{20}{(1-x)^2}}{\dfrac{20x}{1-x}} \\
    &=30\times \dfrac{20}{(1-x)^2}\times \dfrac{1-x}{20x} \\
    &=\dfrac{30}{x(1-x)}
    \end{align*}$
    Si $x$ appartient à l’intervalle $]0;1[$ alors $x$ et $1-x$ sont positifs.
    Ainsi $f'(x)>0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0;1[$.
    $\quad$
    On peut aussi remarquer que sur l’intervalle $]0;1[$ alors $x$ et $1-x$ sont positifs, ainsi $f(x)=30 \left(\ln \left( 20x \right)-\ln(1-x)\right)$.
    On obtient ainsi plus facilement : $$\begin{array}{lr} f'(x)&=30\left( \dfrac{20}{20x}- \dfrac{-1}{1-x}\right)\\ &=30\left( \dfrac{1}{ x}+ \dfrac{ 1}{1-x}\right)\\ &=\dfrac{30}{x(1-x)} \end{array}$$
  3. Déterminer les valeurs du diamètre $x$ du tronc tel que l'âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c'est-à-dire compris entre $20$ et $120$ ans.
  4. $\quad$
    $\begin{align*} 20 \leqslant f(x) \leqslant 120 &\iff 20 \leqslant 30\ln\left(\dfrac{20x}{1-x}\right) \leqslant 120 \\
    &\iff \dfrac{2}{3} \ln \left(\dfrac{20x}{1-x}\right) \leqslant 4 \\
    &\iff \text{e}^{\frac{2}{3}}\leqslant \dfrac{20x}{1-x} \leqslant \text{e}^4
    \end{align*}$
    D’une part :
    $\begin{align*} \text{e}^{\frac{2}{3}} \leqslant \dfrac{20x}{1-x} &\iff (1-x)\text{e}^{\frac{2}{3}} \leqslant 20 x \\
    &\iff \text{e}^{\frac{2}{3}}-\text{e}^{\frac{2}{3}}x \leqslant 20x \\
    &\iff \text{e}^{\frac{2}{3}}\leqslant \left(20+\text{e}^{\frac{2}{3}}\right)x \\
    &\iff \dfrac{\text{e}^{\frac{2}{3}}}{20+\text{e}^{\frac{2}{3}}} \leqslant x
    \end{align*}$
    Soit, en arrondissant au cm près, $x\geqslant 0,09$ mètre.
    $\quad$
    D’autre part :
    $\begin{align*} \dfrac{20x}{1-x} \leqslant \text{e}^4 &\iff 20x \leqslant (1-x)\text{e}^4 \\
    &\iff 20x \leqslant \text{e}^4-\text{e}^4 x \\
    &\iff \left(20+\text{e}^4\right)x \leqslant \text{e}^4 \\
    &\iff x \leqslant \dfrac{\text{e}^4}{20+\text{e}^4}
    \end{align*}$
    Soit, en arrondissant au cm près, $x \leqslant 0,73$ mètre.
    La fonction $f$ étant strictement croissante sur l’intervalle $]0;1[$, on en déduit donc que le diamètre doit être compris entre $0,08$ mètre et $0,73$ mètre pour que ce modèle.
    $\quad$

Partie B


On a relevé la hauteur moyenne des épicéas dans des échantillons représentatifs d'arbres âgés de $50$ à $150$ans. Le tableau suivant, réalisé à l'aide d'un tableur, regroupe ces résultats et permet de calculer la vitesse de croissance moyenne d'un épicéa. $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H &I&J&K &L&M\\ \hline 1&\text{Âges (en années)}&50 &70 &80 &85 &90 &95 &100 &105 &110 &120 &130 &150\\ \hline 2&\text{Hauteurs (en mètres)} &11,2 &15,6 &18,05 &19,3 &20,55 &21,8 &23 &24,2 &25,4 &27,6 &29,65 &33\\ \hline 3&\text{Vitesse de croissance (en mètres par année)}& &0,22 &0,245 &0,25&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$$

      1. Interpréter le nombre $0,245$ dans la cellule D3.
      2. Ce nombre signifie que chaque année, sur la période $70$ ans à $80$ ans, l’arbre a grandi de $0,245$ mètre.

        $\quad$

      1. Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C3 afin de compléter la ligne 3 en recopiant la cellule C3 vers la droite ?
      2. En $C3$ on a saisi $=(C2-B2)/(C1-B1)$

      $\quad$
    1. $f(0,27)=30\ln\left(\dfrac{20\times 0,27}{1-0,27}\right)\approx 60$
      L’arbre a donc $60$ ans.
      Sur la période allant de $50$ ans à $70$ ans l’arbre a grandi de $0,22$ mètre par an.
      A $60$ ans, il mesure donc $11,2+10\times 0,22 = 13,4$ mètres.
      $\quad$
  1. Déterminer la hauteur attendue d'un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à $1,30$m du sol vaut $27$cm.
  2. La qualité du bois est meilleure au moment où la vitesse de croissance est maximale.
      1. Déterminer un intervalle d'âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure en expliquant la démarche.
      2. On calcule les vitesse de croissance manquantes.

        $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}

        \hline

        \text{Âges}&50&70&80&85&90&95&100&105&110&120&130&150\\

        \hline

        \text{Vitesse}&&0,22&0,245&0,25&0,25&0,25&0,24&0,24&0,24&0,22&0,205&0,167~5\\

        \hline

        \end{array}$

        La vitesse de croissance est donc maximale entre $80$ et $95$ ans : la vitesse de croissance concerne un intervalle; donc ici les intervalles $[80;85]$, $[85;90]$ et $[90;95]$.

        $\quad$

      1. Est-il cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ $70$cm ?
      2. $f(0,7)=30\ln\left(\dfrac{20\times 0,7}{1-0,7}\right)\approx 115 $ ans

    Il n’est donc pas cohérent de demander aux bûcherons de couper des épicéa de diamètre 70 cm puisque la qualité du bois n’est plus la meilleure.

 

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