Baccalauréat S Liban 5 juin 2017 - Correction Exercice 3
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Correction de l'exercice 3 (3 points)
Soit $k$ un réel strictement positif. On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb R$ par : \[f_k(x) = x + k\text{e}^{- x}.\] On note $\mathcal{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d'un repère orthonormé. On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathcal{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.
Pour tout réel $k$ strictement positif, la fonction $f_k$ admet un minimum sur $\mathbb R$. La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l'abscisse du point noté $A_k$ de la courbe $\mathcal{C}_k$. il semblerait que, pour tout réel $k$ strictement positif, les points $A_k$ soient alignés. Est-ce le cas ?
Pour tout réel $k$ strictement positif, la fonction $f_k$ admet un minimum sur $\mathbb R$. La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l'abscisse du point noté $A_k$ de la courbe $\mathcal{C}_k$. il semblerait que, pour tout réel $k$ strictement positif, les points $A_k$ soient alignés. Est-ce le cas ?
La fonction $f_k$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\mathbb R$.
On a, pour tout réel $x$, $f’_k(x)=1-k\text{e}^{-x}$.
Ainsi
$\begin{align*} f’_k(x)=0 &\iff k\text{e}^{-x}=1 \\
&\iff \text{e}^{-x}=\dfrac{1}{k} \\
&\iff -x=\ln \dfrac{1}{k} \\
&\iff -x=-\ln k\\
&\iff x=\ln k
\end{align*}$
$f(\ln k)=\ln k+k\text{e}^{-\ln k}=1+\ln k$
Les points $A_k$ ont donc pour coordonnées $(\ln k;1+\ln k)$
Par conséquent les points $A_k$ appartiennent à la droite d’équation $y=1+x$.
Ils sont donc alignés.
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