Baccalauréat S Liban 5 juin 2017 - Exercice 2

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Exercice 2 6 points

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on étudie quelques grandeurs caractéristiques du fonctionnement des parkings d'une ville. Dans tout l'exercice, les probabilités seront données avec une précision de $10^{-4}$.
Les parties A B et C sont indépendantes.

Partie A - Durée d'attente pour entrer dans un parking souterrain

On appelle durée d'attente le temps qui s'écoule entre le moment où la voiture se présente à l'entrée du parking et le moment où elle franchit la barrière d'entrée du parking. Le tableau suivant présente les observations faites sur une journée. $$\begin{array}{|l|c |c |c |c |}\hline \text{Durée d'attente en minute } &[0 ; 2[ &[2 ; 4[ &[4 ; 6[ &[6 ;8[\\ \hline \text{Nombre de voitures }& 75 &19 &10 &5\\ \hline \end{array}$$

1. Proposer une estimation de la durée d'attente moyenne d'une voiture à l'entrée du parking.
2. On décide de modéliser cette durée d'attente par une variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (exprimé en minute).
   1. Justifier que l'on peut choisir $\lambda = 0,5$min.
   2. Une voiture se présente à l'entrée du parking. Quelle est la probabilité qu'elle mette moins de deux minutes pour franchir la barrière ?
   3. Une voiture attend à l'entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu'elle franchisse la barrière dans la minute suivante ?

Partie B - Durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain

Une fois garée, la durée de stationnement d'une voiture est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 70$min et d'écart-type $\sigma = 30$min.

1. 1. Quelle est la durée moyenne de stationnement d'une voiture ?
   2. Un automobiliste entre et se gare dans le parking. Quelle est la probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures ?
   3. À la minute près, quel est le temps maximum de stationnement pour au moins 99% des voitures ?
2. La durée de stationnement est limitée à trois heures. Le tableau donne le tarif de la première heure et chaque heure supplémentaire est facturée à un tarif unique. Toute heure commencée est due intégralement.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{Durée de stationnement}&\text{ Inférieure à 15 min} &\text{Entre 15 min et 1 h }&\text{Heure supplémentaire}\\ \hline \text{Tarif en euros} &\text{Gratuit }&3,5 &t\\ \hline \end{array}$$ Déterminer le tarif $t$ de l'heure supplémentaire que doit fixer le gestionnaire du parking pour que le prix moyen de stationnement d'une voiture soit de $5$ euros.

Partie C - Temps d'attente pour se garer dans un parking de centre-ville

La durée de stationnement d'une voiture dans un parking de centre-ville est modélisée par une variable aléatoire $T'$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu'$ et d'écart-type $\sigma'$. On sait que la moyenne du temps de stationnement dans ce parking est égale à $30$ minutes et que 75% des voitures ont un temps de stationnement inférieur à $37$ minutes. Le gestionnaire du parking vise l'objectif que 95% des voitures aient un temps de stationnement entre $10$ et $50$minutes. Cet objectif est-il atteint ?