Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Annales S 2017.

Baccalauréat S Antilles-Guyane. 7 septembre 2017

 

Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats

Les parties A,B et C sont indépendantes.
Romane utilise deux modes de déplacement pour se déplacer entre son domicile et son lieu de travail : le vélo ou les transports en commun.

Partie A


Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo 9 fois sur 10. Lorsque la journée n'est pas ensoleillée, Romane se déplace en vélo 6 fois sur 10. La probabilité qu'une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est notée $p$. Pour une journée donnée, on note :

 

  1. Construire l'arbre pondéré représentant la situation.
  2. Montrer que la probabilité que Romane se déplace en vélo lors d'une journée donnée est \[P(V) = 0,3p + 0,6.\]
  3. On constate que dans 67,5 % des cas, c'est en vélo que Romane se déplace entre son domicile et son lieu de travail.
    1. Calculer la valeur de $p$.
    2. Sachant que Romane s'est déplacée en vélo, montrer que la probabilité que la journée soit ensoleillée est $\frac{1}{3}$.

 

Partie B


Lorsque Romane se déplace en vélo, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, entre son domicile et son lieu de travail par une variable aléatoire $T_V$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_V$ et d'écart-type $1$ minute. Lorsqu'elle effectue ce trajet en transports en commun, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, par une variable aléatoire $T_C$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_C$ et d'écart-type $3$ minutes.

  1. On nomme $\mathcal{C}_C$ et $\mathcal{C}_V$ les courbes représentatives des fonctions de densité des variables aléatoires $T_V$ et $T_C$ représentées dans la figure ci-dessous. Déterminer, en justifiant votre réponse, $\mu_V$ et $\mu_C$.
  2. Calculer la probabilité que pour Romane un trajet domicile-travail en vélo dure entre 10 et 15 minutes. Arrondir la réponse à $10^{-4}$.
  3. Quel mode de déplacement Romane doit-elle privilégier si elle souhaite mettre moins de 15 minutes pour se rendre au travail ?

 

Partie C


En hiver, Romane roule en vélo de nuit. Son vélo est visible grâce à une ampoule dont la durée de fonctionnement en heures peut être modélisée par une variable aléatoire, notée $X$, suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, réel strictement positif. La fonction de densité associée est donc la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = \lambda \text{e}^{- \lambda t}.\]

  1. Soit $b$ un réel positif. Démontrer, à l'aide d'une intégrale, que \[P(X \leqslant b) = 1 - \text{e}^{\lambda b}.\]
  2. On sait que la probabilité que l'ampoule fonctionne encore après 50 heures d'utilisation est 0,9.
    1. En déduire la valeur exacte de $\lambda$.
    2. Calculer la probabilité que la durée de fonctionnement de l'ampoule soit supérieure à $250$ heures sachant que l'ampoule a déjà fonctionné $200$ heures.

Correction de l'exercice 1 (5 points)


Commun à tous les candidats

 

Les parties A,B et C sont indépendantes.
Romane utilise deux modes de déplacement pour se déplacer entre son domicile et son lieu de travail : le vélo ou les transports en commun.

Partie A


Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo 9 fois sur 10. Lorsque la journée n'est pas ensoleillée, Romane se déplace en vélo 6 fois sur 10. La probabilité qu'une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est notée $p$. Pour une journée donnée, on note :

 

  1. Construire l'arbre pondéré représentant la situation.
  2. Montrer que la probabilité que Romane se déplace en vélo lors d'une journée donnée est \[P(V) = 0,3p + 0,6.\]
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(V)&=P(E\cap V)+P\left(\overline{E}\cap V\right) \\
    &=0,9p+0,6(1-p)\\
    &=0,3p+0,6
    \end{align*}$
  4. On constate que dans 67,5 % des cas, c'est en vélo que Romane se déplace entre son domicile et son lieu de travail.
    1. Calculer la valeur de $p$.
    2. On résout l’équation $0,3p+0,6=0,675 \iff 0,3p=0,075 \iff p = 0,25$
      $\quad$
    3. Sachant que Romane s'est déplacée en vélo, montrer que la probabilité que la journée soit ensoleillée est $\frac{1}{3}$.
    4. On veut calculer :
      $\begin{align*} P_V(E)&=\dfrac{P(E\cap V)}{P(V)} \\
      &=\dfrac{0,25 \times 0,9}{0,675} \\
      &=\dfrac{1}{3}
      \end{align*}$
      $\quad$

 

Partie B


Lorsque Romane se déplace en vélo, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, entre son domicile et son lieu de travail par une variable aléatoire $T_V$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_V$ et d'écart-type $1$ minute. Lorsqu'elle effectue ce trajet en transports en commun, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, par une variable aléatoire $T_C$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_C$ et d'écart-type $3$ minutes.

  1. On nomme $\mathcal{C}_C$ et $\mathcal{C}_V$ les courbes représentatives des fonctions de densité des variables aléatoires $T_V$ et $T_C$ représentées dans la figure ci-dessous. Déterminer, en justifiant votre réponse, $\mu_V$ et $\mu_C$.
  2. L’écart-type le plus petit fournit la courbe dont le maximum est le plus grand.
    La droite d’équation $x=\mu$ est l’axe de symétrie pour chacune des courbes.
    Donc $\mu_V= 14$ et $\mu_C=16$.
  3. Calculer la probabilité que pour Romane un trajet domicile-travail en vélo dure entre 10 et 15 minutes. Arrondir la réponse à $10^{-4}$.
  4. On calculer $P\left(10 \leqslant T_V \leqslant 15\right) \approx 0,8413$
  5. Quel mode de déplacement Romane doit-elle privilégier si elle souhaite mettre moins de 15 minutes pour se rendre au travail ?
  6. $\mu_V<15<\mu_C$ donc $P\left(T_V\leqslant 15\right) > 0,5$ et $P\left(T_C\leqslant 15\right) <0,5$
    Romane doit donc privilégier les trajets en vélo.
    $\quad$

 

Partie C


En hiver, Romane roule en vélo de nuit. Son vélo est visible grâce à une ampoule dont la durée de fonctionnement en heures peut être modélisée par une variable aléatoire, notée $X$, suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, réel strictement positif. La fonction de densité associée est donc la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = \lambda \text{e}^{- \lambda t}.\]

  1. Soit $b$ un réel positif. Démontrer, à l'aide d'une intégrale, que \[P(X \leqslant b) = 1 - \text{e}^{\lambda b}.\]
  2. $$\begin{array}{rl}P(X \leq b)&= \int_0^b f(t) dt \\ &=\int_0^b \lambda \text{e}^{-\lambda t} dt \\ &=\left[-\text{e}^{-\lambda t}\right]_0^b \\ &=-\text{e}^{-\lambda b}+1\\&=1-\text{e}^{-\lambda b} \end{array}$$
  3. On sait que la probabilité que l'ampoule fonctionne encore après 50 heures d'utilisation est 0,9.
    1. En déduire la valeur exacte de $\lambda$.
    2. On sait que :
      $\begin{align*} P(X \geq 50)=0,9 &\iff P(X \leqslant 50)=0,1 \\
      &\iff 1-\text{e}^{-50\lambda}=0,1 \\
      &\iff \text{e}^{-50\lambda}=0,9 \\
      &\iff -50\lambda =\ln 0,9 \\
      &\iff \lambda =-\dfrac{\ln 0,9}{50}
      \end{align*}$
      $\quad$
    3. Calculer la probabilité que la durée de fonctionnement de l'ampoule soit supérieure à $250$ heures sachant que l'ampoule a déjà fonctionné $200$ heures.
    4. On veut calculer $P_{X \geq 200}(X \geq 250)=P_{X \geq 200}(X \geq 200+50)=P(X \geq 50)=0,9$
      Car la loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement.
      $\quad$

Exercice 2 3 points


Commun à tous les candidats


Soit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par 1 \[\left\{\begin{array}{l c l} z_0& =& 100\\ z_{n+1}& =&\dfrac{\text{i}}{3}z_n\: \text{pour tout entier naturel }\:n. \end{array}\right.\] Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont alignés.
  2. On rappelle qu'un disque de centre A et de rayon $r$, où $r$ est un nombre réel positif, est l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\text{A}M \leqslant r$. Démontrer que, à partir d'un certain rang, tous les points $M_n$ appartiennent au disque de centre O et de rayon 1.

Correction de l'exercice 2 (3 points)


Commun à tous les candidats


Soit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par 1 \[\left\{\begin{array}{l c l} z_0& =& 100\\ z_{n+1}& =&\dfrac{\text{i}}{3}z_n\: \text{pour tout entier naturel }\:n. \end{array}\right.\] Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont alignés.
  2. On a, pour tout entier naturel $n$ :
    $z_{n+2}=\dfrac{\text{i}}{3}z_{n+1}=\dfrac{\text{i}}{3}\times \dfrac{\text{i}}{3}z_n = -\dfrac{1}{9}z_n$
    Par conséquent $\vec{OM_{n+2}}=-\dfrac{1}{9}\vec{OM_n}$.
    Les points $O$, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont donc alignés.
    $\quad$
  3. On rappelle qu'un disque de centre A et de rayon $r$, où $r$ est un nombre réel positif, est l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\text{A}M \leqslant r$. Démontrer que, à partir d'un certain rang, tous les points $M_n$ appartiennent au disque de centre O et de rayon 1.
  4. Pour tout entier naturel $n$ on note :
    $r_n=OM_n=\left|z_n\right|$
    Ainsi :
    $\begin{align*} r_{n+1}&=\left|\dfrac{\text{i}}{3}z_n\right| \\
    &=\left|\dfrac{\text{i}}{3}\right|\times \left|z_n\right| \\
    &\dfrac{1}{9} r_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(r_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{9}$ et de premier terme $r_0=100$.
    $-1 < \dfrac{1}{9} < 1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} r_n=0$.
    D’après la définition de la limite d’une suite, on peut déduire que l’intervalle $[0;1[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang, ce qui répond à la question. Il existe donc un rang $n_0$ à partir duquel $r_n<1$ c’est-à-dire à partir duquel tous les points $M_n$ appartiennent au disque de centre $O$ et de rayon $1$.
    $\quad$
    On peut également déterminer le rang $n_0$ à partir duquel tous les points sont situés dans le disque (mais ce n'était pas explicitement demandé dans l'exercice).
    On cherche $n$ tel que $d_n< 1$.
    La suite $\left( d_n\right) $ est géométrique de premier terme $d_0= 100$ et de raison $q=\dfrac{1}{3}$ donc, pour tout $n, d_n=q^n\times d_0= 100\left( \dfrac{1}{3}\right) ^n$. On résout l’inéquation : $$\begin{array}{rll} d_n <1 iff="" 100="" left="" dfrac="" 1="" 3="" right="" n="" ln="" text="" car="" x="" mapsto="" est="" strictement="" croissante="" sur="" 0="" infty="" -n="" -2="" 10="" a="" -=""> \dfrac{2\ln (10) }{\ln 2}& \end{array}$$ Or $\dfrac{2\ln (10) }{\ln 2}\approx 4,2 $ donc les points $M_n$ appartiennent au disque de centre O et de rayon 1 à partir de $n=5$.

 


Exercice 3 5 points


Fonctions


Commun à tous les candidats

Partie A


Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[1~;~+ \infty[$ telle que, pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à 1, \[f(x) = \dfrac{1}{x} \ln (x).\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

  1. Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale.
  2. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
  3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.

 

Partie B


On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[u_n = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln (x)\:\text{d}x\:\:\text{pour tout entier naturel} \:n.\]

  1. Démontrer que $u_0 = \dfrac{1}{2} [\ln (2)]^2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
  2. Prouver que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~2], on a \[0 \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (2).\]
  3. En déduire que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a \[0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{\ln (2)}{n} \left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right).\]
  4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats

Partie A


Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[1~;~+ \infty[$ telle que, pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à 1, \[f(x) = \dfrac{1}{x} \ln (x).\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

  1. Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale.
  2. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$. Par conséquent la courbe $\mathscr{C}$ possède une asymptote horizontale d’équation $y=0$.
    $\quad$
  3. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
  4. D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable sur $[1;+\infty[$.
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{1}{x^2}\ln(x)+\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1}{x^2} \\
    &=\dfrac{-\ln(x)+1}{x^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
  6. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-\ln(x)+1$.
    $-\ln(x)+1=0 \iff \ln(x)=1 \iff x=\text{e}$
    $-\ln(x)+1>0 \iff \ln(x)<1 \iff x<\text{e}$
    Par conséquent la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;\text{e}]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[\text{e};+\infty[$.
    $\quad$

 

Partie B


On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[u_n = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln (x)\:\text{d}x\:\:\text{pour tout entier naturel} \:n.\]

  1. Démontrer que $u_0 = \dfrac{1}{2} [\ln (2)]^2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
  2. $\begin{align*} u_0&=\int_1^2 \dfrac{1}{x}\ln(x) \text{d} x \\
    &=\left[\dfrac{1}{2}\left(\ln(x)\right)^2\right]_1^2 \\
    &=\dfrac{1}{2}\left[\ln(2)\right]^2
    \end{align*}$
    Cela signifie donc que l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=2$ a une aire de $\dfrac{1}{2}\left[\ln(2)\right]^2$ u.a.
    $\quad$
  3. Prouver que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~2], on a \[0 \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (2).\]
  4. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;2]$.
    Par conséquent :
    $0 \leq \ln(x) \leq \ln(2) \iff 0 \leq \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \leq \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2)$.
    $\quad$
  5. En déduire que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a \[0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{\ln (2)}{n} \left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right).\]
  6. Pour tout entier naturel $n$, la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(x)$ est continue et positive sur l’intervalle $[1;2]$.
    Donc, d’après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ non nul :
    $\begin{align*} 0 \leq \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \leq \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2)& \iff 0 \leq u_n \leq \int_0^n \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2) \text{d} x \\
    &\iff 0 \leq u_n \leq \left[-\dfrac{\ln(2)}{n}\times \dfrac{1}{x^n}\right]_1^2 \\
    &\iff 0 \leq u_n \leq -\dfrac{\ln(2)}{n}\left(\dfrac{1}{2^n}-1\right)\\
    &\iff 0 \leq u_n \leq \dfrac{\ln(2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
  7. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
  8. $-1<\dfrac{1}{2} <1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\ln(2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right) = 0$.
    D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =0$.
    $\quad$

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On note $ \mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels. L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ . On considère les points A$(1~;~1~;~14)$, B$(0~;~1~;~8)$ et C$(- 2~;~2~;~4)$ ainsi que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}-6\\-8\\- 1\end{pmatrix}$.

    1. Justifier que les points A, B et C définissent un plan.
    2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{\text{AB}}$ et $\vec{\text{AC}}$.
    3. Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $6x + 8y - z = 0$.
  1. On considère la droite $\Delta$ des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&2t - 3\\ y &=&t - \dfrac{1}{2},\\ z &=&4t + 2 \end{array}\right. \:t \in \mathbb{R}.\]
    1. Donner un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
    2. La droite $\Delta$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ?
  2. Dans cette question, on considère l'ensemble $(E)$ des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&t^3 + t\\ y &=&t+1,\\ z &=&2t \end{array}\right. \:t \in \mathbb{R}.\] Démontrer qu'il existe un unique point $M$ qui appartient à la fois à (E) et à (ABC). Il n'est pas demandé de déterminer ses coordonnées.

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On note $ \mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels. L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ . On considère les points A$(1~;~1~;~14)$, B$(0~;~1~;~8)$ et C$(- 2~;~2~;~4)$ ainsi que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}-6\\-8\\- 1\end{pmatrix}$.

    1. Justifier que les points A, B et C définissent un plan.
    2. $\vec{AB}(-1;0;-6)$ et $\vec{AC}(-3;1;-10)$. ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires (une coordonnée nulle). Les points $A,B$ et $C$ définissent donc un plan.
    3. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{\text{AB}}$ et $\vec{\text{AC}}$.
    4. $\vec{n}.\vec{AB}=-6+0+6=0$ et $\vec{n}.\vec{AC}=-18+8+10=0$.
      Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal aux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
    5. Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $6x + 8y - z = 0$.
    6. Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$; il est normal à ce plan.
      Une équation du plan $(ABC)$ est donc de la forme $$6x+8y-z+d=0$$
      Le point $A(1;1;14)$ appartient à ce plan donc :
      $6+8-14+d=0 \iff d=0$.
      Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $6x+8y-z=0$.
  1. On considère la droite $\Delta$ des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&2t - 3\\ y &=&t - \dfrac{1}{2},\\ z &=&4t + 2 \end{array}\right. \:t \in \mathbb{R}.\]
    1. Donner un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
    2. Un vecteur directeur de la droite $\Delta$ est donc $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$.
      $\quad$
    3. La droite $\Delta$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ?
    4. Regardons si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
      $\vec{u}.\vec{n}=12+8-4=16\neq 0$.
      La droite $\Delta$ n’est donc pas parallèle au plan $(ABC)$; ils sont donc sécants.
      $\quad$
  2. Dans cette question, on considère l'ensemble $(E)$ des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&t^3 + t\\ y &=&t+1,\\ z &=&2t \end{array}\right. \:t \in \mathbb{R}.\] Démontrer qu'il existe un unique point $M$ qui appartient à la fois à (E) et à (ABC). Il n'est pas demandé de déterminer ses coordonnées.
  3. $M(x;y;z)$ un éventuel point d’intersection de l’ensemble $(E)$ avec le plan $(ABC)$.
    Ses coordonnées sont donc solutions du système :
    $\begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6x+8y-z=0\end{cases} \iff \begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6t^3+6t+8t+8-2t=0\end{cases} \iff \begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6t^3+12t+8=0\end{cases}$
    On appelle $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t)=6t^3+12t+8$.
    La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que fonction polynôme (donc continue sur $\mathbb{R}$).
    $f'(t)=18t^2+12>0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
    De plus, d’après la limite des termes de plus haut degré on a :
    $\lim\limits_{x \to -\infty} f(t)=\lim\limits_{x \to -\infty} 6t^3=-\infty$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} f(t)=\lim\limits_{x \to +\infty} 6t^3=+\infty$
    Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=0$ possède une unique solution sur $\mathbb{R}$.
    Il existe donc un unique point $M$ qui appartient à la fois à l’ensemble $(E)$ et au plan $(ABC)$.
    $\quad$

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

 

  1. Soit $p$ un entier relatif donné. On s'intéresse dans cette question à l'équation $\left(E_p\right)$ \[3x + 4y = p\] où $(x~;~y)$ est un couple d'entiers relatifs.
    1. Vérifier que le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de l'équation.
    2. Démontrer que l'ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l'ensemble des couples de la forme \[(- p + 4k~;~p - 3k) \:\text{où }\:k \:\text{est un entier relatif.}\]
  2. Dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$. On considère le plan $P$ d'équation cartésienne \[6x + 8y - z = 0.\]

  3. Soit $M_0$ un point de coordonnées $\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)$ qui appartient au plan $P$ et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.
    1. Démontrer que $z_0$ est pair.
    2. On pose $z_0 = 2p$ où $p$ est un entier relatif. Prouver que le couple $\left(x_0~;~y_0\right)$ est solution de l'équation $\left(E_p\right)$.
    3. En utilisant la question 1., déterminer l'ensemble des points du plan $P$ à coordonnées entières.
  4. À tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, on associe le point $M'$ de coordonnées $\left(x'~;~y'~;~z'\right)$ avec \[\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}31&75&180\\56&41&- 144\\28&- 30&29 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
    1. Montrer que $6x' + 8y' - z' = 101(6x + 8y - z)$.
    2. En déduire que si le point $M$ est un point du plan $P$, alors le point $M'$ est aussi un point du plan $P$.
    3. Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire à $P$ passant par O. Montrer que si le point $M$ appartient à $\Delta$, alors le point $M'$ appartient aussi à $\Delta$.

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

  1. Soit $p$ un entier relatif donné. On s'intéresse dans cette question à l'équation $\left(E_p\right)$ \[3x + 4y = p\] où $(x~;~y)$ est un couple d'entiers relatifs.
    1. Vérifier que le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de l'équation.
    2. $3(-p)+4p=-3p+4p=p$
      $\quad$
      Ainsi le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de l'équation.
    3. Démontrer que l'ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l'ensemble des couples de la forme \[(- p + 4k~;~p - 3k) \:\text{où }\:k \:\text{est un entier relatif.}\]
    4. Soit $(x;y)$ un couple solution de l’équation $\left(E_p\right)$.
      $3(-p)+4p=p$ et $3x+4y=p$
      Par différence :
      $3(-p-x)+4(p-y)=0$ soit $3(p+x)=4(p-y)$.
      $3$ et $4$ sont premiers entre eux. Donc d’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que :
      $p+x=4k$ et $p-y=3k$ soit $x=4k-p$ et $y=p-3k$.
      Réciproquement, on considère un entier relatif $k$.
      $3(-p+4k)+4(p-3k)=-3p+12k+4p-12k=p$.
      $\quad$
      Donc l’ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l’ensemble des couples de la forme $(-p+4k;p-3k)$ où $k$ est un entier relatif.
  2. Dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$. On considère le plan $P$ d'équation cartésienne \[6x + 8y - z = 0.\]

  3. Soit $M_0$ un point de coordonnées $\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)$ qui appartient au plan $P$ et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.
    1. Démontrer que $z_0$ est pair.
    2. On a donc $6x_0+8y_0-z_0=0 \iff z_0=6x_0+8y_0 \iff z_0=2(3x_0+4y_0)$.
      Donc $z_0$ est pair puisque $3x_0+4y_0$ est un entier .
      $\quad$
    3. On pose $z_0 = 2p$ où $p$ est un entier relatif. Prouver que le couple $\left(x_0~;~y_0\right)$ est solution de l'équation $\left(E_p\right)$.
    4. $6x_0+8y_0-2p=0 \iff 6x_0+8y_0=2p \iff 3x_0+4y_0=p$
      Donc $\left(x_0;y_0\right)$ est solution de l’équation $\left(E_p\right)$.
      $\quad$
    5. En utilisant la question 1., déterminer l'ensemble des points du plan $P$ à coordonnées entières.
    6. D’après la question 1.b. l’ensemble des points du plans $P$ à coordonnées entières sont les points de coordonnées $(-p+4k;p-3k;2p)$ où $k$ et $p$ sont des entiers relatifs.
      $\quad$
  4. À tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, on associe le point $M'$ de coordonnées $\left(x'~;~y'~;~z'\right)$ avec \[\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}31&75&180\\56&41&- 144\\28&- 30&29 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
    1. Montrer que $6x' + 8y' - z' = 101(6x + 8y - z)$.
    2. On a donc :
      $\begin{cases} x’=31x+75y+180z\\y’=56x+41y-144z\\z’=28x-30y+29z\end{cases}$
      Par conséquent :
      $\begin{array} 6x’+8y’-z’&=6(31x+75y+180z)+8(56x+41y-144z)-(28x-30y+29z) \\
      &=186x+450y+1~080z+448x+328y-1~152z-28x+30y-29z \\
      &=606x+808y-101z\\
      &=101(6x+8y-z)
      \end{array}$
    3. En déduire que si le point $M$ est un point du plan $P$, alors le point $M'$ est aussi un point du plan $P$.
    4. Si $M$ est un point du plan $P$ alors $6x+8y-z=0$.
      Par conséquent $101(6x+8y-z)=0$ et $M’$ est donc un point du plan $P$.
      $\quad$
    5. Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire à $P$ passant par O. Montrer que si le point $M$ appartient à $\Delta$, alors le point $M'$ appartient aussi à $\Delta$.
    6. Une représentation paramétrique de $\Delta$ est alors $\begin{cases} x=6t\\y=8t\\z=-t\end{cases} \quad, t\in \mathbb{R}$.
      Supposons que le point $M$ appartienne à la droite $\Delta$. Il existe un réel $t$ tel que :
      $\begin{cases} x’=31\times 6t+75\times 8t-180t\\y’=56\times 6t+41\times 8t+144t\\z’=28\times 6t-30\times 8t-29t\end{cases}$
      soit $\begin{cases} x’=606t\\y’=808t\\z’=-101t\end{cases}$
      par conséquent $\begin{cases} x’=6\times 101t\\y’=8\times 101t\\z’=-101t\end{cases}$
      Le point $M’$ est un point de $\Delta$ de paramètre $101t$.
      $\quad$