Baccalauréat S Asie 22 juin 2017 - Exercice 5

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Exercice 5 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Question préliminaire

Soit $T$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ désigne un réel strictement positif. On rappelle que, pour tout réel $a$ positif, on a : $P( T \leqslant a) = \displaystyle\int_0^{a}\lambda \text{e}^{-\lambda t}\:\text{d}t$. Démontrer que, pour tout réel $a$ positif, $P(T > a) = \text{e}^{-\lambda a}$.
Dans la suite de l'exercice, on considère des lampes à led dont la durée de vie, exprimée en jour, est modélisée par une variable aléatoire $T$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{2800}$. Les durées seront données au jour près, et les probabilités au millième près.

Partie A : étude d'un exemple

 

  1. Calculer la probabilité qu'une lampe fonctionne au moins 180 jours.
  2. Sachant qu'une telle lampe a déjà fonctionné 180 jours, quelle est la probabilité qu'elle fonctionne encore au moins 180 jours?

 

Partie B : contrôle de la durée de vie moyenne


Le fabricant de ces lampes affirme que, dans sa production, la proportion de lampes qui ont une durée de vie supérieure à $180$ heures est de 94 %. Un laboratoire indépendant qui doit vérifier cette affirmation fait fonctionner un échantillon aléatoire de $400$ lampes pendant $180$ jours. On suppose que les lampes tombent en panne indépendamment les unes des autres. Au bout de ces $180$ jours, $32$ de ces lampes sont en panne. Au vu des résultats des tests, peut-on remettre en cause, au seuil de 95 %, la proportion annoncée par le fabricant ?

Partie C : dans une salle de spectacle


Pour éclairer une salle de spectacle, on installe dans le plafond $500$ lampes à led. On modélise le nombre de lampes fonctionnelles après $1$ an par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 440$ et d'écart-type $\sigma = 7,3$.

  1. Calculer $P (X > 445)$, la probabilité que plus de $445$ lampes soient encore fonctionnelles après un an.
  2. Lors de l'installation des lampes dans le plafond, la direction de la salle veut constituer un stock de lampes. Quelle doit-être la taille minimale de ce stock pour que la probabilité de pouvoir changer toutes les lampes défectueuses, après un an, soit supérieure à 95 % ?

 

Correction Exercice 5
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