Baccalauréat S Asie 22 juin 2017 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (4 points)


Commun à tous les candidats


VRAI FAUX


Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

  1. On dispose de deux dés, identiques d'aspect, dont l'un est truqué de sorte que le 6 apparait avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$. On prend un des deux dés au hasard, on le lance, et on obtient $6$.
    Affirmation 1 : la probabilité que le dé lancé soit le dé truqué est égale à $\dfrac{2}{3}$.
  2. On appelle :
    $\bullet$ $T$ l’événement “le dé choisi est truqué”;
    $\bullet$ $S$ l’événement “on obtient $6$”.
    On obtient donc l’arbre pondéré suivant :

    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)&=p(T\cap S)+p\left(\overline{T}\cap S\right) \\
    &=0,5\times 0,5+0,5\times \dfrac{1}{6} \\
    &=\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    On veut calculer :
    $\begin{align*} p_S(T)&=\dfrac{p(T\cap S)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,5\times 0,5}{\dfrac{1}{3}} \\
    &=\dfrac{3}{4}\\
    &\neq \dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    Affirmation 1 fausse.
  3. Dans le plan complexe, on considère les points M et N d'affixes respectives $z_{\text{M}} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $z_{\text{N}} = \dfrac{3 - \text{i}}{2 + \text{i}}$.
    Affirmation 2 : la droite (MN) est parallèle à l'axe des ordonnées.
  4. On a $z_M=2\text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{3}}=1-\text{i}\sqrt{3}$
    $\begin{align*} z_N&=\dfrac{3-\text{i}}{2+\text{i}} \\
    &=\dfrac{(3-\text{i})(2-\text{i})}{2^2+1^2} \\
    &=\dfrac{5-5\text{i}}{5}\\
    &=1-\text{i}
    \end{align*}$
    L’affixe du vecteur $\vec{MN}$ est donc :
    $\begin{align*} z_{\vec{MN}}&=z_n-z_M\\
    &=1-\text{i}-\left(1-\text{i}\sqrt{3}\right) \\
    &=\left(\sqrt{3}-1\right)\text{i}
    \end{align*}$
    Le vecteur $\vec{MN}$ est donc colinéaire à un vecteur directeur de l’axe des ordonnées.
    Affirmation 2 vraie.

    Dans les questions 3. et 4., on se place dans un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ de l'espace et l'on considère la droite $d$ dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1+ t\\ y &=& 2,\\ z &=& 3 + 2t \end{array}\right. t \in \mathbb{R}$.
  5. On considère les points A, B et C avec A$(-2~;~2~;~3)$, B $(0~;~1~;~2)$ et C$(4~;~2~;~0)$. On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.
    Affirmation 3 : la droite $d$ est orthogonale au plan (ABC).
  6. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}(1;0;2)$.
    $\vec{AB}(2;-1;-1)$ et $\vec{AC}(6;0;-3)$
    Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont clairement pas colinéaires.
    $\vec{u}.\vec{AB}=2+0-2=0$
    $\vec{u}.\vec{AC}=6+0-6=0$
    Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    La droite $d$ est ainsi orthogonale au plan $(ABC)$.
    Affirmation 3 vraie.
  7. On considère la droite $\Delta$ passant par le point D$(1~;~4~;~1)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(2~;~1~;~3)$.
    Affirmation 4 : la droite $d$ et la droite $\Delta$ ne sont pas coplanaires.
  8. Le vecteur $\vec{u}(1;0;2)$ dirige la droite $d$ et le vecteur $\vec{v}(2;1;3)$ dirige la droite $\Delta$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Donc les droites $d$ et $\Delta$ ne sont pas parallèles.
    Regardons si les droites sont sécantes.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est $\begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\end{cases} \quad ,k\in\mathbb{R}$.
    On veut résoudre le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 1+t=1+2k\\2=4+k\\3+2t=1+3k\end{cases} &\iff \begin{cases} t=2k\\k=-2\\2+2t=3k\end{cases} \\
    &\iff \begin{cases} k=-2\\t=-4\\2-8=-6 \end{cases} \\
    &\iff \begin{cases} k=-2\\t=-4\\-6=-6\end{cases}\end{align*}$
    Les deux droites sont donc sécantes en $D(-3;2;-5)$.
    Elles sont par conséquent coplanaires.
    Affirmation 4 fausse.
Exercice 4
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