Baccalauréat S Liban 31 mai 2016 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l'absence de réponse n'est pas pénalisée.

  • Sur le schéma ci-dessous on a représenté la courbe de densité d'une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 20$. La probabilité que la variable aléatoire $X$ soit comprise entre $20$ et $21,6$ est égale à $0,34$.
  • Affirmation 1 : La probabilité que la variable aléatoire $X$ appartienne à l'intervalle $[23,2; + \infty[$ vaut environ 0,046.
  • Affirmation 1 : fausse
    Méthode 1 : On utilise la propriété suivante :

    Si $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)$ alors $P(\mu-\sigma \leqslant X \leqslant \mu+\sigma)=0,68)$
    On a $P(20 \leqslant X \leqslant 21,6) = 0,34$
    Donc $P(18,4 \leqslant X \leqslant 21,6) = 0,68$ soit $P(20-1,6 \leqslant X \leqslant 20+1,6)=0,68)$.
    Cela signifie donc que $\sigma \approx 1,6$.
    Ainsi $P(X \geqslant 23,2) = 0,5-P(20 \leqslant X \leqslant 23,2) \approx 0,023$

     

    2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

    $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
    Méthode 2 : $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(20;\sigma^2)$ donc $T=\dfrac{X-20}{\sigma}$ suit $\mathcal{N}(0;1)$
    $\begin{align*} P(20 \leqslant X \leqslant 21,6) = 0,34 &\iff P\left(\dfrac{20-20}{\sigma} \leqslant \dfrac{X-20}{\sigma} \leqslant \dfrac{20,6-20}{\sigma}\right) = 0,34\\
    & \iff P\left(0 \leqslant T \leqslant \dfrac{1,6}{\sigma}\right) = 0,34 \\
    &\iff0,5+P\left( T \leqslant \dfrac{1,6}{\sigma}\right) = 0,84\\
    &\iff \pi\left( \dfrac{1,6}{\sigma}\right) = 0,84\\ &\iff \dfrac{1,6}{\sigma}=\pi^{-1}(0,84)\\ &\iff \sigma= \dfrac{1,6}{\pi^{-1}(0,84)}\\ &\text{ donc } \sigma\approx 1,6089
    \end{align*}$

    2ND DISTR 3Fracnormale( $\1 $ )EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$Fracnormale( \1 ) \approx \2$$

    $$\pi^{-1}( \1)\approx \2 \text{ à } 10^{-\3} \text{ près.}$$

     

    2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

    $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

    En vidéo !
  • Soit $z$ un nombre complexe différent de 2. On pose : \[Z = \dfrac{\text{i}z}{z - 2}.\]
  • Affirmation 2 : L'ensemble des points du plan complexe d'affixe $z$ tels que $|Z| = 1$ est une droite passant par le point A(1 ;0).
  • Affirmation 2 : vraie
    $\begin{align*} |Z|=1 &\iff |\text{i} z|=|z-2| \\
    &\iff |z|=|z-2|
    \end{align*}$
    Cet ensemble de points est donc la médiatrice du segment $[BC]$ où $B$ a pour affixe $0$ et $C$ a pour affixe $2$.
    Cette médiatrice passe par le milieu de $[BC]$ qui est $A$ d’affixe $1$.
  • Affirmation 3 : $Z$ est un imaginaire pur si et seulement si $z$ est réel.
  • Affirmation 3 : vraie
    Pour tout $z\neq 2$,
    $\begin{align*} Z&=\dfrac{\text{i} z}{z-2} \\
    &=\dfrac{\text{i}(x+\text{i} y)}{x+\text{i} y -2} \\
    &=\dfrac{(\text{i} x-y)(x-2-\text{i} y)}{(x-2)^2+y^2} \\
    &=\dfrac{(x-2)x\text{i} -y(x-2)+xy+\text{i} y^2}{(x-2)^2+y^2} \\
    &\dfrac{2y+\text{i}\left((x-2)x+y^2\right)}{(x-2)^2+y^2}
    \end{align*}$
    $Z$ est un imaginaire pur si, et seulement si, $2y =0$ soit $y=0$ c’est-à-dire $z$ est un réel.
  • Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x) = \dfrac{3}{4 + 6\text{e}^{- 2x}}.\]
  • Affirmation 4 : L'équation $f(x) = 0,5$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.
  • Affirmation 4 : vraie
    $\begin{align*} f(x)=0 &\iff \dfrac{3}{4+6\text{e}^{-2x}}=0,5 \\
    &\iff 3=2+3\text{e}^{-2x} \\
    &\iff 1=3\text{e}^{-2x} \\
    &\iff \dfrac{1}{3} = \text{e}^{-2x} \\
    &\iff -\ln 3=-2x \\
    &\iff x = \dfrac{\ln 3}{2}
    \end{align*}$
  • Affirmation 5 : L' algorithme suivant affiche en sortie la valeur $0,54$.
    $$ \begin{array}{|l|l|} \hline \text{ Variables : } & X \text{ et } Y \text{ sont des réels}\\ \text{Initialisation :}& X \text{ prend la valeur } 0\\ & Y \text{ prend la valeur } \dfrac{3}{10} \\ \text{ Traitement :} &\text{ Tant que } Y < 0.5 \\ &\quad X \text{ prend la valeur } X + 0,01 \\ &\hspace{0.4cm} Y \text{ prend la valeur } \dfrac{3}{4 + 6\text{e}^{- 2X}} \\ &\text{Fin Tant que}\\ \text{Sortie : } & \text{Afficher } X \\ \hline \end{array} $$
  • Affirmation 5 : fausse
    $f(0,54) \approx 0,496~9$ et $f(0,55) \approx 0,500~2$.
    L’algorithme va afficher $0,55$.

 

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