Baccalauréat S Liban 31 mai 2016 - Correction Exercice 2
Correction de l'exercice 2 (5 points)
Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s'entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive. Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabilité.
Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.
Partie A
Le joueur s'apprête à recevoir une série de 20 balles.
- Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite ?
- « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
- « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$
- Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite ? Méthode 1 : On veut calculer $P(5 \leqslant X \leqslant 10)=P(X \leqslant 10)-P(X \leqslant 4) \approx 0,582$.
On répète $\1$ fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :
Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$ et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .
Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$
On veut calculer $P(X=10)=\displaystyle \binom{20}{10}\times 0,5^{10}\times 0,5^{20-10}\approx 0,176$.
2ND DISTR 0binomFdP( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(\1,\2,\3) \approx \4$
Méthode 2 :
2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\5) -2ND DISTR A binomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\5)-binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \6$$
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Partie B
La proportion $p$ est égale à $\1$. La taille $n$ de l'échantillon considéré est égale à $\2.$
Comme $ n =\2$ , $n \times p $=\3 et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\% $ est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
$\begin{align*} I_{100} &=\left[0,5-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,5\times 0,5}}{\sqrt{100}};0,5-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,5\times 0,5}}{\sqrt{100}}\right] \\\\
&=[0,402;0,598]
\end{align*}$
La fréquence observée est $f=0,42 \in I_{100}$.
Au risque d’erreur de $5\%$ l’appareil fonctionne correctement.
Partie C
- la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est $0,24$ ;
- la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est $0,235$.
Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu'elle soit envoyée à droite ?
On appelle $D$ l’événement « la balle est envoyée à droite » et $L$ l’événement « la balle est liftée ».
On a ainsi $p(D\cap L)=0,24$ et $p\left(\overline{D}\cap \overline{L}\right)=0,235$
Ainsi $p_D(L)=\dfrac{p(D \cap L)}{p(D)}=\dfrac{0,24}{0,5}=0,48$.
Par conséquent $p_D\left(\overline{L}\right)=0,52$.
Donc $p\left(D\cap \overline{L}\right)=0,5 \times 0,52 = 0,26$.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$$\begin{align*} p\left(\overline{L}\right)&=p\left(D\cap \overline{L}\right)+p\left(\overline{D}\cap \overline{L}\right) \\
&=0,26+0,235 \\
&=0,495
\end{align*}$$
Ainsi $p_{\overline{L}}(D) = \dfrac{p\left(D\cap \overline{L}\right)}{p\left(\overline{L}\right)}=\dfrac{0,26}{0,495}\approx 0,525$.
$\quad$
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