Baccalauréat S Liban 31 mai 2016 - Exercice 5

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Exercice 5 3 points

Commun à tous les candidats

On considère la suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes définie pour tout entier naturel $n$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} z_0 & =& 0\\ z_{n+ 1}& =& \dfrac{1}{2} \text{i} \times z_n + 5 \end{array}\right.\] Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$. On considère le nombre complexe $z_{\text{A}} = 4 + 2\text{i}$ et A le point du plan d'affixe $z_{\text{A}}$.

1. Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = z_n - z_{\text{A}}$ .
   1. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2} \text{i} \times u_n$.
   2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : \[u_n = \left(\dfrac{1}{2} \text{i}\right)^n (- 4 - 2\text{i}).\]
2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points A, $M_n$ et $M_{n+4}$ sont alignés.