Baccalauréat S Métropole 22 juin 2015 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

 

Probabilités

Les résultats des probabilités seront arrondis à \(10^{-3}\) près.

Partie 1

1. Soit \(X\) une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), où \(\lambda\) est un réel strictement positif donné.
   On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction \(f\) définie sur \([0;+\infty[\) par \(f(x)= \lambda\text{e}^{-\lambda x}\).
   1. Soit \(c\) et \(d\) deux réels tels que \(0 < c < d\).
      Démontrer que la probabilité \(P(c \leq X \leq d)\) vérifie \(P(c \leq X \leq d)= \text{e}^{-\lambda c}-\text{e}^{-\lambda d}\).
   \[\begin{array}{rl} P(c \leq X \leq d)& = \displaystyle\int_c^d \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x\\ &= \left [-\text{e}^{-\lambda x}\right ]_c^d\\ &= -\text{e}^{-\lambda c}-\left (-\text{e}^{-\lambda d}\right )\\ &= \text{e}^{-\lambda c}-\text{e}^{-\lambda d}\\ \end{array}\]
   2. Déterminer une valeur de \(\lambda\) à \(10^{-3}\) près de telle sorte que la probabilité \(P(X > 20)\) soit égale à 0,05.
   \[\begin{array}{rl} P( X > 20)& = 1-P(X\leq 20)\\ &= 1-\left (\text{e}^{-\lambda \times 0}-\text{e}^{-\lambda \times 20}\right )\\ &= 1-\left (1-\text{e}^{-20\lambda} \right )\\ &= \text{e}^{-20\lambda } \\ \end{array}\]On veut \(P(X> 20)= 0,05\) \[\begin{array}{rl} P( X > 20)= 0,05 &\iff \text{e}^{-20\lambda } = 0,05\\ &\iff\ln \left ( \text{e}^{-20\lambda }\right )= \ln 0,05\\ &\iff -20\lambda =\ln(0,05) \\& \iff \lambda = \dfrac{\ln\left (\dfrac{1}{20}\right )}{-20}\\ & \iff \lambda = \dfrac{-\ln 20}{-20}\\ & \iff \lambda = \dfrac{\ln 20}{20}\\ & \iff \lambda \approx 0,150\\ \end{array}\]
   3. Donner l'espérance de la variable aléatoire \(X\). Dans la suite de l'exercice on prend \(\lambda = 0,15\).
   \[E(X)=\dfrac{1}{\lambda}= \dfrac{1}{0,15}=\dfrac{100}{15 }=\dfrac{20}{3}\approx 6,67\]
   4. Calculer \(P(10\leq X \leq 20)\).
   \[\begin{array}{rl} P(10 \leq X \leq 20)& = \text{e}^{-\lambda \times 10}-\text{e}^{-\lambda\times 20}\\ &= \text{e}^{-0,15 \times 10}-\text{e}^{-0,15\times 20}\\ &= \text{e}^{-1,5 }-\text{e}^{-3}\\ &\approx 0,173 \end{array}\]
   5. Calculer la probabilité de l'événement \((X > 18)\).
   \[\begin{array}{rl} P( X > 18)& = 1-P(X\leq 18)\\ &= 1-\left (\text{e}^{-\lambda \times 0}-\text{e}^{-\lambda \times 18}\right )\\ &= \text{e}^{-18\lambda } \\ &=\text{e}^{-18\times 0,15 }=\text{e}^{-2,7 }\\ &\approx 0,067 \end{array}\]
2. Soit \(Y\) une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 16 et d'écart type 1,95.
   1. Calculer la probabilité de l'événement \((20 \leq Y \leq 21)\).

   2ND DISTR 2NORMALFRép( 20 , 21,16,1,95)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   \[NormalFR\text{é}p(20,21,16,1,95) \approx 0,015\]

   \[P(20 \leq Y \leq 21)\approx 0,015 \text{ à } 10^{-3} \text{ près.}\]

    

   2. Calculer la probabilité de l'événement \((Y < 11) \cup (Y > 21)\).
   Les événements \((Y < 11)\) et \( (Y > 21)\) étant disjoints, on a : \[ P\left((Y < 11) \cup (Y > 21)\right)=P(Y < 11) + P(Y > 21)\]

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \(-10^{99}\) , 11,\(16\)\(1,95\))EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   \[NormalFR\text{é}p(-10^{99},11,16,1,95) \approx 0,0052\]

   \[P( Y \leq 11)\approx 0,0052 \text{ à } 10^{-3} \text{ près.}\]

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \(21\) , \(10^{99}\),16,\(1,95\))EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   \[NormalFR\text{é}p(21,10^{99},16,1,95) \approx 0,0052\]

   \[P( Y \geq 21)\approx 0,0052 \text{ à } 10^{-3} \text{ près.}\]
   Alors \[ P\left(((Y < 11) \cup (Y > 21)\right)=P(Y < 11) + P(Y > 21)\approx 0,0052+0,0052\approx 0,010\]Une autre méthode consiste à passer par l'événement contraire : \[P\left((Y < 11) \cup (Y > 21)\right)=1-P(11\leq Y\leq 21)\]

   2ND DISTR 2NORMALFRép( 11 , 21,16,1,95)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   \[NormalFR\text{é}p(11,21,16,1,95) \approx 0,990\]

   \[P(11 \leq Y \leq 21)\approx 0,990 \text{ à } 10^{-3} \text{ près.}\]

    

Partie 2

Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d'achat à ses clients privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.
Les bons d'achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.
Les bons d'achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.
De façon analogue, les bons d'achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.

1. Calculer la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu'il est rouge.
Un arbre pondéré représentant la situation :

Les événements \(T\) « obtenir un bon d’achat d’une valeur de 30 euros » et \( C\) « obtenir un bon d’achat d’une valeur de 100 euros » sont disjoints.
On appelle \(R\) l’événement « le bon d’achat est rouge ».
On appelle \(S\) l’événement « Obtenir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros ».
Par conséquent :
\[\begin{array}{rl}P_R(S) &= P_R(T \cup C) \\ & = P_R(T) + P_R(C) \\ & = 0,015 + 0,01 \\ & = 0,025 \end{array}\]

2. Montrer qu'une valeur approchée à \(10^{-3}\) près de la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut 0,057.
   Pour la question suivante, on utilise cette valeur.
D’après la formule des probabilités totales on a :
\[\begin{array}{rl} P(S) &= P(R \cap S) + P\left(\overline{R} \cap S\right) \\ &= 0,025 \times 0,25 + 0,067 \times 0,75 \\ &= 0,0565 \\ & \approx 0,057 \end{array}\]

3. Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 € .
   Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d'achats dans les différents magasins de la chaîne.
   Ses doutes sont-ils justifiés ?
On calcule un intervalle de fluctuation \(I_{200}\) au seuil de 95% et on utilise le principe de décision suivant :
• On calcule la fréquence observée sur l'échatillon : ici \(f_{Obs}= \dfrac{6}{200}=0,03\)
• Si \(f_{Obs}\in I_{200}\), on ne remet pas en doûte la répartition au hasard des bons d'achats dans les différents magasins de la chaîne.
• Si \(f_{Obs}\notin I_{200}\), on ne remet pas en doûte la répartition au hasard des bons d'achats dans les différents magasins de la chaîne.

La proportion \(p\) est égale à \(0,057\). La taille \(n\) de l'échantillon considéré est égale à \(200.\)
Comme \( n =200\) , \(n \times p \)=11,4 et \(n\times (1-p)=188,6,\) les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : \[n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5\]


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \(95\% \) est : \[I_{200} = \left[0,057 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,057\times 0,943}{200}}~;~0,057 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,057\times 0,943}{200}} \right]\]

• On arrondit la borne inférieure par défaut à \(10^{-3}\) près : \(0,057 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,057\times 0,943}{200}}\approx 0,0248\) soit \(0,024\).
• On arrondit la borne supérieure par excés à \(10^{-3}\) près : \(0,057+ 1,96\sqrt{\dfrac{0,057\times 0,943}{200}}\approx 0,0891\) soit \(0,090\).


L'intervalle de fluctuation au niveau de 95% est \[I_{200} = [0,024~;~0,090]\]

Comme \(0,03\in I_{200}\), les doutes du directeur du magasin ne sont pas justifiés.