Baccalauréat S Amérique du Nord 2 juin 2015 - Correction Exercice 2
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Correction de l'exercice 2 (5 points)
On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel $n$, on définit les points $\left(A_n\right)$ par leurs coordonnées $\left(x_n;y_n\right)$ de la façon suivante: \[\left\{\begin{array}{l c l} x_0 &=&- 3\\ y_0 &=&\phantom{-}4 \end{array}\right. \quad \text{et pour tout entier naturel }\:n : \left\{\begin{array}{l c l} x_{n+1}&=&0,8x_n - 0,6y_n\\ y_{n+1}&=&0,6x_n + 0,8y_n \end{array}\right.\]
-
- Déterminer les coordonnées des points $A_0,\: A_1$ et $A_2$. $A_0(-3;4)$, $A_1(-4,8;1,4)$ et $A_2(-4,68;-1,76)$
- Pour construire les points $A_n$ ainsi obtenus, on écrit l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c|l|}\hline \text{Variables :}& \\ &i, x, y, t : nombres réels\\ \text{Initialisation :}&\\ &x \text{ prend la valeur } - 3\\ & y \text{ prend la valeur } 4 \\ \text{ Traitement : }&\\ & \text{ Pour } i \text{ allant de } 0 \text{ à }20\\ &\hspace{1cm}\text{ Construire le point de coordonnées } (x;y)\\ & \hspace{1cm}t \text{ prend la valeur } x\\ &\hspace{1cm}x \text{ prend la valeur } \ldots . \\ &\hspace{1cm}y \text{ prend la valeur } \ldots. \\ &\text{ Fin Pour }\\ \hline \end{array}$$ Recopier et compléter cet algorithme pour qu'il construise les points $A_0$ à $A_{20}$. Variables :
- À l'aide d'un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant:
Identifier les points $A_0, A_1$ et $A_2$. On les nommera sur la figure jointe en annexe 2, (à rendre avec la copie) . Quel semble être l'ensemble auquel appartiennent les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel ?
$\quad$ $i,x,y,t$ : nombres réels
Initialisation :
$\quad$ $x$ prend la valeur $-3$
$y$ prend la valeur $4$
Traitement :
$\quad$ Pour $i$ allant de $0$ à $20$
$\qquad$ Construire le point de coordonnées $(x;y)$
$\qquad$ $t$ prend la valeur $x$
$\qquad$ $x$ prend la valeur $0,8x-0,6y$
$\qquad$ $y$ prend la valeur $0,6t+0,8y$
$\quad$ Fin Pour
$\quad$
Les points $A_n$ semblent être sur le cercle de centre $O$ et de rayon $5$.
- Le but de cette question est de construire géométriquement les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel. Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel $n,\: z_n = x_n + \text{i}y_n$ l'affixe du point $A_n$.
- Soit $u_n = \left|z_n\right|$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 5$. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ? Raisonnons par récurrence.
- On admet qu'il existe un réel $\theta$ tel que $\cos(\theta) = 0,8$ et $\sin(\theta) = 0,6$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\text{e}^{\text{i}\theta }z_n = z_{n+ 1}$. $$\begin{array}{rl} \text{e}^{\text{i}\theta}z_n & = (\cos \theta + \text{i} \sin \theta)(x_n + \text{i} y_n) \\ &=(0,8 + 0,6\text{i})(x_n + \text{i} y_n) \\ &=0,8x_n + 0,8y_n \text{i} + 0,6x_n\text{i} – 0,6y_n \\ &= 0,8x_n – 0,6y_n + (0,6x_n + 0,8y_n)\text{i}\\ &= z_{n+1} \end{array}$$
- Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $z_n = \text{e}^{\text{i}n\theta }z_0$. Raisonnons ici encore par récurrence.
- Montrer que $\theta + \dfrac{\pi}{2}$ est un argument du nombre complexe $z_0$. $$\begin{array} {rl}z_0 &= -3 + 4\text{i} \\ &= 5\left(-\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}\text{i}\right) \\ &= 5 (-0,6 + 0,8\text{i}) \end{array}$$
- Pour tout entier naturel $n$, déterminer, en fonction de $n$ et $\theta$, un argument du nombre complexe $z_n$. Représenter $\theta$ sur la figure jointe en annexe 2, (à rendre avec la copie). Expliquer, pour tout entier naturel $n$, comment construire le point $A_{n+ 1}$ à partir du point $A_n$. Puisque $z_n=\text{e}^{\text{i} n \theta} z_0$, cela signifie donc qu’un argument de $z_n$ est :
Initialisation :
$u_0 = |-3 + 4\text{i}c| = \sqrt{9 + 16} = 5$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n = 5$.
Alors :
$$\begin{array} {rl}u_{n+1} &= \left|z_{n+1}\right| \\ & = \sqrt{(0,8x_n-0,6y_n)^2+(0,6x_n+0,8y_n)^2} \\ & = \sqrt{0,64x_n^2 + 0,36y_n^2-0,96x_ny_n + 0,36x_n^2+0,64y_n^2+0,96x_ny_n } \\ & = \sqrt{x^n_2 + y_n^2} \\ & = \left|z_n\right| \\ & = 5
\end{array}$$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$
$\quad$
Conclusion :
La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 5$.
$\quad$
Initialisation :
$z_0 = 1 \times z_0 = \text{e}^{\text{i} \times 0 \theta}z_0$
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $z_n = \text{e}^{\text{i} n \theta} z_0$
Alors :
$$\begin{array}{rl} z_{n+1} & = \text{e}^{\text{i} \theta}z_n \\ &= \text{e}^{\text{i} \theta} \times \text{e}^{\text{i} n \theta} z_0 \\ & = \text{e}^{\text{i} (n+1) \theta} z_0 \end{array}$$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion :
La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a : $z_n=\text{e}^{\text{i} n \theta} z_0$.
$\quad$
Or $\cos \left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) = -\sin \theta = -0,6 $
et $\sin \left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos \theta = 0,8$.
Donc un argument de $z_0$ est bien $\theta + \dfrac{\pi}{2}$
$\quad$
$$n\theta + \text{arg} (z_0) = n\theta + \theta +\dfrac{\pi}{2} = (n+1)\theta + \dfrac{\pi}{2}$$
$\theta$ est donc l’angle du secteur angulaire créé à partir de deux points consécutifs et de l’origine du repère.
Pour construire le point $A_{n+1}$ est l’image par la rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ du point $A_n$ : on trace donc, dans le sens trigonométrique, la demi droite $[Ox)$ telle que l’angle entre cette droite et $\left[OA_n\right]$ soit égal à $\theta$. Le point d’intersection de cette demi-droite et du cercle est le point $A_{n+1}$.
$\quad$
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