Baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015
Exercice 1 5 points
Le plan est rapporté à un repère orthogonal $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$. Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On note $\Delta_a$ la droite d'équation $y = ax$ et $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans le repère orthogonal $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d'intersection de $\Gamma$ et $\Delta_a$ suivant les valeurs de $a$. Pour cela. on considère la fonction $f_a$ définie pour tout nombre réel $x$ par \[f_a(x) = \text{e}^x - ax.\] On admet pour tout réel $a$ que la fonction $f_a$ est dérivable sur l'ensemble $\mathbb R$ des nombres réels.
- Etude du cas particulier $a = 2$ La fonction $f_2$ est donc définie pour tout $x$ réel par $f_2(x) = \text{e}^x - 2x$.
- Etudier les variations de la fonction $f_2$ sur $\mathbb R$ et dresser son tableau de variations sur $\mathbb R$ ( on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition .
- En déduire que $\Gamma$ et $\Delta_2$ n'ont pas de point d'intersection.
- Etude du cas général où $a$ est un réel strictement positif
- Déterminer les limites de la fonction $f_a$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
- Etudier les variations de la fonction $f_a$ sur $\mathbb R$. Montrer alors que le minimum sur $\mathbb R$ de la fonction $f_a$ est $a - a \ln a$.
- Etudier le signe de $a - a \ln a$ suivant les valeurs du nombre réel strictement positif $a$.
- Déterminer selon les valeurs du réel $a$ le nombre de points communs à $\Gamma$ et $\Delta_a$.
Correction de l'exercice 1 (5 points)
Le plan est rapporté à un repère orthogonal $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$. Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On note $\Delta_a$ la droite d'équation $y = ax$ et $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans le repère orthogonal $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d'intersection de $\Gamma$ et $\Delta_a$ suivant les valeurs de $a$. Pour cela. on considère la fonction $f_a$ définie pour tout nombre réel $x$ par \[f_a(x) = \text{e}^x - ax.\] On admet pour tout réel $a$ que la fonction $f_a$ est dérivable sur l'ensemble $\mathbb R$ des nombres réels.
- Etude du cas particulier $a = 2$ La fonction $f_2$ est donc définie pour tout $x$ réel par $f_2(x) = \text{e}^x - 2x$.
- Etudier les variations de la fonction $f_2$ sur $\mathbb R$ et dresser son tableau de variations sur $\mathbb R$ ( on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition . La fonction $f_2$ est d’après l’énoncé dérivable sur $\mathbb R$.
- En déduire que $\Gamma$ et $\Delta_2$ n'ont pas de point d'intersection. $2 – 2\ln 2 > 0$ donc pour tout réel $x$, $f_2(x) > 0$ et l’équation $\text{e}^x = 2x$ ne possède aucune solution.
$ f_2′(x) = \text{e}^x – 2$
Or $\text{e}^x-2 > 0 \Leftrightarrow \text{e}^x > 2 \Leftrightarrow x > \ln 2$.
On obtient par conséquent le tableau de variations suivant :
On en déduit donc que $\Delta_2$ et $\Gamma$ n’ont pas de point d’intersection. - Etude du cas général où $a$ est un réel strictement positif
- Déterminer les limites de la fonction $f_a$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. $f_a(x)=\text{e}^x(1-ax\text{e}^{-x})$
- Etudier les variations de la fonction $f_a$ sur $\mathbb R$. Montrer alors que le minimum sur $\mathbb R$ de la fonction $f_a$ est $a - a \ln a$. $f_a$ est dérivable sur $\mathbb R$.
- Etudier le signe de $a - a \ln a$ suivant les valeurs du nombre réel strictement positif $a$. $a -a \ln a = a (1 – \ln a)$
- Déterminer selon les valeurs du réel $a$ le nombre de points communs à $\Gamma$ et $\Delta_a$. Si $0 < a <e$ alors $f_a(x) > 0$ pour tout réel $x$.
$\lim\limits_{x \to +\infty} x\text{e}^{-x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 0$
De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^x = +\infty$.
Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f_a(x) = +\infty$
$\quad$
$\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} -ax = +\infty$ car $a > 0$.
Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f_a(x) = +\infty$.
$f_a'(x) = \text{e}^x – a$.
$\text{e}^x – a > 0 \Leftrightarrow x > \ln a$.
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
La fonction $f_a$ admet donc un minimum $f_a(\ln a) = a-a\ln a$.
Puisque $a > 0$, $a -a \ln a$ est du signe de $1- \ln a$.
Cela signifie donc que :
• si $a > e$ alors $1 – \ln a < 0$ et $a – a\ln a < 0$
• si $0< a <e$ alors $1 – \ln a > 0$ et $a – a\ln a > 0$
$\quad$
Si $a > e$ :
Sur $]-\infty;\ln a]$, la fonction $f_a$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante.
De plus $\lim\limits_{x \to – \infty} f_a(x) = +\infty$ et $f_a(\ln a) <0$.
Par conséquent $0$ appartient à l’intervalle image de $]-\infty;\ln a]$ par $f_a$.
D’après le théorème de la bijection ou le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f_a(x) = 0$ possède une unique solution sur $]-\infty;\ln a[$ et $\Gamma$ et $\Delta_a$ ont un unique point d’intersection sur cet intervalle.
De même, en utilisant la croissance stricte de $f_a$ sur $[\ln a;+\infty[$, on prouve que $\Gamma$ et $\Delta_a$ ont un unique point d’intersection sur $[\ln a;+\infty[$.
Les deux courbes ont donc, si $a > e$ deux points d’intersection.
$\quad$
Si $a=e$ alors la droite et la courbe $\Gamma$ ont un seul point en commun : celui d’abscisse $\ln a = 1$. - On tire au hasard une puce fabriquée par l'entreprise.
- Donner la valeur $P_L(C)$.
- Quelle est la probabilité que la puce soit livrée et ait une durée de vie strictement supérieure à 1 000 heures?
- Quelle est la probabilité que la puce soit éliminée ou ait une durée de vie courte à la sortie de la chaine de fabrication ? Dans la suite de l'exercice on s'intéresse seulement aux puces livrées aux clients.
- On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie en heures d'une telle puce. On suppose que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
- Montrer que $\lambda = \dfrac{ - \ln (0,98)}{1000}$.
- Calculer la probabilité qu'une puce ait une durée de vie supérieure à 10 000 heures. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.
- Calculer $P(20000 \leqslant X \leqslant 30000)$. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat.
- Les ingénieurs de l'entreprise ont mis au point un nouveau procédé de fabrication. On suppose qu'avec ce nouveau procédé la probabilité qu'une puce livrée donnée ait une durée de vie courte est égale à $0,003$. On prélève au hasard 15000 puces prêtes à être livrées- On admettra que ce prélèvement de 15000 puces revient à effectuer un tirage avec remise de 15000 puces parmi l'ensemble de toutes les puces électroniques produites par l'entreprise et prêtes à être livrées. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de puces ayant une vie courte dans cet échantillon.
-
- Justifier que $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 15000 $ et $p = 0,003$.
- Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$.
- Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité $P(40 \leqslant Y \leqslant 50)$.
- On tire au hasard une puce fabriquée par l'entreprise.
- Donner la valeur $P_L(C)$. D’après l’énoncé, on observe que $2\%$ des puces livrées ont une durée de vie courte. Donc $P_L(C) = 0,02$.
- Quelle est la probabilité que la puce soit livrée et ait une durée de vie strictement supérieure à 1 000 heures? Cela signifie donc que $P_L\left(\overline{C}\right) = 1-0,02=0,98$ et $P\left(L \cap \overline{C}\right) = P(L)\times P_L\left(\overline{C}\right)=0,95 \times 0,98 = 0,931$.
- Quelle est la probabilité que la puce soit éliminée ou ait une durée de vie courte à la sortie de la chaine de fabrication ? On cherche donc à calculer ici :
$P\left(\left(L \cap C\right) \cup \overline{L}\right) = 1 – P\left(L \cap \overline{C}\right) = 1 – 0,931 = 0,069$.
Ou de façon équivalente : Comme seules les puces livrées peuvent avoir une durée de vie courte on a :$P\left(\left(L \cap C\right) \cup \overline{L}\right) =P\left(\left(L \cap C\right) \right)+ P\left( \overline{L}\right) = 0,05+0,019 = 0,069.$ Dans la suite de l'exercice on s'intéresse seulement aux puces livrées aux clients.
- On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie en heures d'une telle puce. On suppose que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
- Montrer que $\lambda = \dfrac{ - \ln (0,98)}{1000}$. On sait que $P(X \le 1~000) = 0,02$.
- Calculer la probabilité qu'une puce ait une durée de vie supérieure à 10 000 heures. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près. $P(X \ge 10~000) = \text{e}^{-10~000\lambda} \approx 0,817$.
- Calculer $P(20000 \leqslant X \leqslant 30000)$. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat. $P(20~000 \le X \le 30~000) = \text{e}^{-20~000\lambda} – \text{e}^{-30~000\lambda} \approx 0,122$.
- Les ingénieurs de l'entreprise ont mis au point un nouveau procédé de fabrication. On suppose qu'avec ce nouveau procédé la probabilité qu'une puce livrée donnée ait une durée de vie courte est égale à $0,003$. On prélève au hasard 15000 puces prêtes à être livrées- On admettra que ce prélèvement de 15000 puces revient à effectuer un tirage avec remise de 15000 puces parmi l'ensemble de toutes les puces électroniques produites par l'entreprise et prêtes à être livrées. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de puces ayant une vie courte dans cet échantillon.
Puisque $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, cela signifie donc que :
$P(X \le 1~000) = 1 – \text{e}^{-1~000\lambda}$
Par conséquent :
$$ \begin{array}{rl} 1 – \text{e}^{-1~000\lambda} = 0,02 & \Leftrightarrow -\text{e}^{-1~000\lambda} = -0,98 \\ & \Leftrightarrow -1~000\lambda = \ln (0,98) \\ & \Leftrightarrow \lambda = \dfrac{-\ln (0,98)}{1~000}
\end{array}$$
Cela signifie donc qu’environ $81,7\%$ des puces ont une durée de vie supérieure ou égale à $10~000$ heures.
Cela signifie donc qu’environ $12,2\%$ des puces ont une durée de vie comprise entre $20~000$ et $30~000$ heures.
-
- Justifier que $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 15000 $ et $p = 0,003$.
- « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
- « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$
- Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$. $E(Y) = np = 15~000\times 0,003 = 45$.
- Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité $P(40 \leqslant Y \leqslant 50)$. $P(40 \le Y \le 50) = P(Y \le 50) – P(Y \le 39) \approx 0,589$.
On répète $\1$ fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :
Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$ et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .
Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$
2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\5) -2ND DISTR A binomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\5)-binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \6$$$$P( \4 \leq \7\leq\5 )\approx \6 \text{ à } 10^{-\8} \text{ près.}$$ -
- Donner une représentation paramétrique de $D_1$.
- Donner un vecteur directeur de $D_2 \left(\text{on le notera}\: \vec{u_2}\right)$.
- Le point $A_2(- 1~;~4~;~2)$ appartient-il à $D_2$ ?
- Démontrer que les droites $D_1$ et $D_2$ sont non coplanaires.
- Soit le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}- 6\\- 3\\4\end{pmatrix}$. On définit la droite $\Delta_1$ passant par $A_1$ et de vecteur directeur $\vec{v}$ et la droite $\Delta_2$ passant par $A_2$ et parallèle à $\Delta_1$. Justifier que les droites $D_1$ et $\Delta_1$ sont perpendiculaires. Dans la suite, on admettra que les droites $D_2$ et $\Delta_2$ sont perpendiculaires.
- Soit $P_1$ le plan défini par les droites $D_1$ et $\Delta_1$ et $P_2$ le plan défini par les droites $D_2$ et $\Delta_2$.
- Soit le vecteur $\vec{n} \;\begin{pmatrix}17\\- 22\\9\end{pmatrix}$. Vérifier que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $P_1$.
- Montrer que $P_1$ et $P_2$ ne sont pas parallèles.
- Soit $\Delta$ la droite d'intersection des plans $P_1$ et $P_2$. On admettra que le vecteur $\vec{v}$ est un vecteur directeur de $\Delta$. Utiliser les questions précédentes pour prouver qu'il existe une droite de l'espace perpendiculaire à la fois à $D_1$ et à $D_2$.
-
- Donner une représentation paramétrique de $D_1$. Une représentation paramétrique de $D_1$ est obtenue de la façon suivante:
- Donner un vecteur directeur de $D_2 \left(\text{on le notera}\: \vec{u_2}\right)$. $D_2$ la droite qui admet pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&1 + k\\y&=& - 2k\\ z&=&2\end{array}\right.\:(k \in \mathbb R)$ admet pour vecteur directeur $\vec{u_2} \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$
- Le point $A_2(- 1~;~4~;~2)$ appartient-il à $D_2$ ? $$\begin{array}{rl} A_2\begin{pmatrix}-1\\4\\2 \end{pmatrix} \in D_2&\iff \text{ il existe } k\in \mathbb R; \left\{\begin{array}{l c r} -1&=&1 + k\\4&=& - 2k\\ 2&=&2\end{array}\right.\\ &\iff \text{ il existe } k\in \mathbb R; \left\{\begin{array}{l c } k&= -2 \\k&=-2 \\ k&= -2\end{array}\right.\\ \end{array}$$ Ainsi si on prend $k = -2$ dans $D_2$ alors :
$$\begin{array}{rl} M \in D_1&\iff \text{ il existe } t\in \mathbb R; \vec{AM}= t\vec{u_1}\\ &\iff \begin{pmatrix}x-0\\y-2\\z-1 \end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} \\ &\iff \begin{cases} x = t\\y= 2 + 2t \qquad t \in \mathbb R\\z=-1 + 3t \end{cases}\end{array}$$
$\begin{cases} x = -1\\y=4\\\\z=2 \end{cases}$
Donc $A_2$ appartient à $D_2$. - Démontrer que les droites $D_1$ et $D_2$ sont non coplanaires. Déjà les vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ ne sont pas colinéaires; en effet leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles ; en effet $\dfrac{1}{1} \ne \dfrac{2}{-2}$.Ceci prouve que les droites $D_1$ et $D_2$ ne sont pas parallèles.
- Soit le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}- 6\\- 3\\4\end{pmatrix}$. On définit la droite $\Delta_1$ passant par $A_1$ et de vecteur directeur $\vec{v}$ et la droite $\Delta_2$ passant par $A_2$ et parallèle à $\Delta_1$. Justifier que les droites $D_1$ et $\Delta_1$ sont perpendiculaires. Dans la suite, on admettra que les droites $D_2$ et $\Delta_2$ sont perpendiculaires. $\vec{v}.\vec{u_1} = -6 -6 + 12 = 0$.
- Soit $P_1$ le plan défini par les droites $D_1$ et $\Delta_1$ et $P_2$ le plan défini par les droites $D_2$ et $\Delta_2$.
- Soit le vecteur $\vec{n} \;\begin{pmatrix}17\\- 22\\9\end{pmatrix}$. Vérifier que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $P_1$. $\vec{n} =\begin{pmatrix} 17\\-22\\ 9 \end{pmatrix}$
- Montrer que $P_1$ et $P_2$ ne sont pas parallèles. $\vec{n}.\vec{u_2} = 17 + 44 \ne 0$.
$\vec{n}.\vec{u_1} = 17 – 44 + 27 = 0$.
$\vec{n}.\vec{v} = -102 + 66 + 36 = 0$.
Donc le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $P_1$. Il est par conséquent normal à ce plan.
Par conséquent $\vec{n}$ n’est pas normal au plan $P_2$ et les deux plans $P_1$ et $P_2$ ne sont pas parallèles.
$\quad$
Exercice 2 5 points
Une entreprise fabrique des puces électroniques qui sont utilisées pour des matériels aussi différents que des téléphones portables, des lave-linge ou des automobiles. A la sortie de fabrication, 5% d'entre elles présentent un défaut et sont donc éliminées. Les puces restantes sont livrées aux clients. On dit qu'une puce a une durée de vie courte si cette durée de vie est inférieure ou égale à 1 000 heures. On observe que 2% des puces livrées ont une durée de vie courte. On note $L$ l'évènement « La puce est livrée ». On note C l'évènement « La puce a une durée de vie courte c'est-à -dire inférieure ou égale à 1000 heures ». Etant donné deux évènements $A$ et $B$, on note $P_A(B)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.
Correction de l'exercice 2 (5 points)
Une entreprise fabrique des puces électroniques qui sont utilisées pour des matériels aussi différents que des téléphones portables, des lave-linge ou des automobiles. A la sortie de fabrication, 5% d'entre elles présentent un défaut et sont donc éliminées. Les puces restantes sont livrées aux clients. On dit qu'une puce a une durée de vie courte si cette durée de vie est inférieure ou égale à 1 000 heures. On observe que 2% des puces livrées ont une durée de vie courte. On note $L$ l'évènement « La puce est livrée ». On note C l'évènement « La puce a une durée de vie courte c'est-à -dire inférieure ou égale à 1000 heures ». Etant donné deux évènements $A$ et $B$, on note $P_A(B)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.
Exercice 3 5 points
L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ . On désigne par $\mathbb R$ l'ensemble des nombres réels. On rappelle que deux droites de l'espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.
Soient le point $A_1$ de coordonnées $(0~;~2~;~-1)$ et le vecteur $\vec{u_1}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$. On appelle $D_1$ la droite passant par $A_1$ et de vecteur directeur $\vec{u_1}$. On appelle $D_2$ la droite qui admet pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&1 + k\\y&=& - 2k\\ z&=&2\end{array}\right.\:(k \in \mathbb R).$ Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'une droite perpendiculaire à la fois à $D_1$ et $D_2$.
Correction de l'exercice 3 (5 points)
L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ . On désigne par $\mathbb R$ l'ensemble des nombres réels. On rappelle que deux droites de l'espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.
Soient le point $A_1$ de coordonnées $(0~;~2~;~-1)$ et le vecteur $\vec{u_1}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$. On appelle $D_1$ la droite passant par $A_1$ et de vecteur directeur $\vec{u_1}$. On appelle $D_2$ la droite qui admet pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&1 + k\\y&=& - 2k\\ z&=&2\end{array}\right.\:(k \in \mathbb R).$ Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'une droite perpendiculaire à la fois à $D_1$ et $D_2$.
Regardons si elles sont sécantes. On cherche donc à résoudre le système :
$\begin{align*} \begin{cases} 1+k = t\\-2k = 2 + 2t\\-1+3t = 2 \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} k = t – 1 \\-2t + 2 = 2 + 2t\\ 3t = 3 \end{cases}\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} k = t – 1\\t = 0\\t = 1 \end{cases} \end{align*}$
Le système ne possède donc pas de solution et les droites $D_1$ et $D_2$ ne sont pas sécantes.
On en déduit donc que les droites ne sont pas coplanaires.
Par conséquent les droites $D_1$ et $\Delta_1$ sont orthogonales.
Le point $A_1$ appartient aux deux droites. Elles sont donc perpendiculaires.
- Soit $\Delta$ la droite d'intersection des plans $P_1$ et $P_2$. On admettra que le vecteur $\vec{v}$ est un vecteur directeur de $\Delta$. Utiliser les questions précédentes pour prouver qu'il existe une droite de l'espace perpendiculaire à la fois à $D_1$ et à $D_2$. $\Delta$ est parallèle à $\Delta_1$ et $\Delta_2$ respectivement perpendiculaire à $D_1$ et $D_2$.
Par conséquent la droite $\Delta$ est orthogonale aux droites $D_1$ et $D_2$.
Or cette droite appartient au plan $P_1$ et au plan $P_2$. Elle est donc perpendiculaire aux droites $D_1$ et $D_2$.
Exercice 4 5 points
On note $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ les suites réelles définies, pour tout entier naturel $n$, par \[u_0 = 1 ~~v_0 = 0~~\text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l} u_{n+1}&=&\sqrt{3}u_n - v_n\\ v_{n+1}&=&u_n + \sqrt{3}v_n\end{array}\right..\]
- Calculer les valeurs de $u_1,\:v_1,\:u_2,\:v_2$.
- On souhaite construire un algorithme qui affiche les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier naturel $N$ donné.
- On donne l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Entrée : } & N \text{ est un nombre entier} \\ \text{Variables : } &K \text{ est un nombre entier }\\ & S \text{ est un nombre réel }\\ & T \text{ est un nombre réel }\\ \text{Initialisation : }&\text{ Affecter 1 à } S \\ &\text{ Affecter 0 à } T \\ &\text{ Affecter 0 à } K \\ \text{Traitement :} &\text{Tant que } K < N \\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter } \sqrt{3}S - T \text{ à } S \\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter } S + \sqrt{3} T \text{ à } T \\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter } K + 1 \text{ à } K \\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{ Sortie : } &\text{ Afficher } S \\ &\text{ Afficher } T \\ \hline\end{array}$$ Faire fonctionner cet algorithme pour $N = 2$. Pour cela, on recopiera et complétera le tableau de variables ci-dessous : $$\begin{array}{ |c| c| }\hline S & T & K \\ \hline 1 &0 &0\\ \hline \sqrt{3} & \sqrt{3} &1 \\ \hline & &\\ \hline\end{array} $$
- L'algorithme précédent affiche t-il les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier $N$ donné ? Dans le cas contraire, écrire sur la copie une version corrigée de l'algorithme proposé qui affiche bien les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier $N$.
- On pose, pour tout entier naturel $n,\: z_n = u_n + \text{i}v_n$. On note $a$ le nombre complexe $a = \sqrt{3} + \text{i}$.
- Démontrer que, pour tout entier naturel $n,$ \[z_{n+1} = az_n.\]
- Ecrire $a$ sous forme exponentielle.
- En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\[\left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&2^n \cos \left(\dfrac{n\pi}{6}\right)\\ v_n&=&2^n \sin \left(\dfrac{n\pi}{6}\right)\end{array}\right.\]
Correction de l'exercice 4 5 points
On note $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ les suites réelles définies, pour tout entier naturel $n$, par \[u_0 = 1 ~~v_0 = 0~~\text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l} u_{n+1}&=&\sqrt{3}u_n - v_n\\ v_{n+1}&=&u_n + \sqrt{3}v_n\end{array}\right..\]
- Calculer les valeurs de $u_1,\:v_1,\:u_2,\:v_2$. $u_1 = \sqrt{3} – 0 = \sqrt{3}$ $\quad v_1 = 1 + \sqrt{3} \times 0 = 1$
- On souhaite construire un algorithme qui affiche les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier naturel $N$ donné.
- On donne l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Entrée : } & N \text{ est un nombre entier} \\ \text{Variables : } &K \text{ est un nombre entier }\\ & S \text{ est un nombre réel }\\ & T \text{ est un nombre réel }\\ \text{Initialisation : }&\text{ Affecter 1 à } S \\ &\text{ Affecter 0 à } T \\ &\text{ Affecter 0 à } K \\ \text{Traitement :} &\text{Tant que } K < N \\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter } \sqrt{3}S - T \text{ à } S \\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter } S + \sqrt{3} T \text{ à } T \\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter } K + 1 \text{ à } K \\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{ Sortie : } &\text{ Afficher } S \\ &\text{ Afficher } T \\ \hline\end{array}$$ Faire fonctionner cet algorithme pour $N = 2$. Pour cela, on recopiera et complétera le tableau de variables ci-dessous : $$\begin{array}{ |c| c| }\hline S & T & K \\ \hline 1 &0 &0\\ \hline \sqrt{3} & \sqrt{3} &1 \\ \hline & &\\ \hline\end{array} $$ $\quad$
- L'algorithme précédent affiche t-il les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier $N$ donné ? Dans le cas contraire, écrire sur la copie une version corrigée de l'algorithme proposé qui affiche bien les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier $N$. Un algorithme pourrait être :
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline S & T & K\\ \hline
1 & 0 & 0\\ \hline \sqrt{3} & \sqrt{3} & 1\\ \hline 3-\sqrt{3}&6-\sqrt{3}&2\\ \hline \end{array}$
b. Les valeurs trouvées pour $N=2$ ne correspondent pas à celles de $u_2$ et $v_2$.
L’algorithme n’affiche donc pas les valeurs de $u_N$ et $v_N$.
Entrée :
$\quad$ $N$ est un nombre entier
Variables :
$\quad$ $K$ est un nombre entier
$\quad$ $S$ est un nombre réel
$\quad$ $T$ est un nombre réel
$\quad$ $U$ est un nombre réel
Initialisation :
$\quad$ Affecter $1$ à $S$
$\quad$ Affecter $0$ à $T$
$\quad$ Affecter $0$ à $K$
Traitement :
$\quad$ Tant que $K < N$
$\qquad$ Affecter $S$ à $U$
$\qquad$ Affecter $\sqrt{3}U-T$ à $S$
$\qquad$ Affecter $U+\sqrt{3}T$ à $T$
$\qquad$ Affecter $K+1$ à $K$
$\quad$ Fin Tant que
Sortie :
$\quad$ Afficher $S$
$\quad$ Afficher $T$ - On pose, pour tout entier naturel $n,\: z_n = u_n + \text{i}v_n$. On note $a$ le nombre complexe $a = \sqrt{3} + \text{i}$.
- Démontrer que, pour tout entier naturel $n,$ \[z_{n+1} = az_n.\] $$\begin{array}{rl} z_{n+1} &= u_{n+1} + i v_{n+1}\\ & = \sqrt{3}u_n-v_n+i\left(u_n+\sqrt{v_n}\right)\\ &= \left(\sqrt{3} + i\right)u_n + \left(-1 +i \sqrt{3}\right)v_n \end{array}$$
- Ecrire $a$ sous forme exponentielle. $|a| = \sqrt{3 + 1} = 2$
- En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\[\left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&2^n \cos \left(\dfrac{n\pi}{6}\right)\\ v_n&=&2^n \sin \left(\dfrac{n\pi}{6}\right)\end{array}\right.\] La suite $(z_n)$ est donc géométrique de raison $a$ et de premier terme $z_0= u_0 = 1$.
De plus :
$$\begin{array}{rl} az_n &=\left(\sqrt{3} + i \right)(u_n + i v_n)\\ & = \left(\sqrt{3} + i\right)u_n + \left(i \sqrt{3} -1 \right) v_n\\ &= z_{n+1} \end{array}$$ $\quad$
Donc $a = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{i}{2}\right) = 2\text{e}^{i\pi/6}$.
Donc $z_n = a^n$ pour tout entier naturel $n$.
Par conséquent $z_n = 2^n\text{e}^{ni \pi/6}$
Et $u_n = 2^n\cos\left(\dfrac{n\pi}{6}\right)$ et $v_n = 2^n\sin\left(\dfrac{n\pi}{6}\right)$
$u_2 = \sqrt{3} \times \sqrt{3} – 1 = 2$ $\quad v_2 = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
Spécialité 5 points
Correction de l'exercice de Spécialité 5 points
- Vues: 20853