Baccalauréat série S Amérique du Sud 17 novembre 2014 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Suites

On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb N$ par : \[u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad u_{n+1} = - \dfrac{1}{2}u_n^2 + 3u_n - \dfrac{3}{2}.\]

Partie A : Conjecture

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1. Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de $u_1$ et $u_2$.
2. Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près des termes $u_3$ et $u_4$.
3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.

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Partie B: Validation des conjectures

On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = u_n - 3$.

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1. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = - \dfrac{1}{2}v_n^2$.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: -1 \leqslant v_n \leqslant 0$.
3. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_n = -v_n\left(\dfrac{1}{2}v_n + 1\right)$.
   2. En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
4. Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite $\left(v_n\right)$ converge ?
5. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(v_n\right)$. On admet que $\ell$ appartient à l'intervalle $[- 1 ; 0]$ et vérifie l'égalité : $\ell = - \dfrac{1}{2}\ell^2$. Déterminer la valeur de $\ell$.
6. Les conjectures faites dans la  partie A  sont-elles validées ?