Baccalauréat S Polynésie 7 juin 2013 - Correction Spécialité

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Exercice 4 : 5 points

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité mathématiques

Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l'évolution de nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.
En 2013, les opérateurs A et B ont chacun $300$ milliers d'abonnés.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur A la $n$-ième année après 2013, et $b_n$ le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur B la $n$-ième année après 2013.
Ainsi, $a_0 = 300$ et $b_0 = 300$.

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :
pour tout entier naturel $n$, $\begin{cases} a_{n+1} = 0,7a_n + 0,2b_n + 60 \\ b_{n+1} = 0,1a_n + 0,6b_n + 70 \end{cases}$.

On considère les matrices\index{matrice} $M = \begin{pmatrix} 0,7 & 0,2 \\ 0,1 & 0,6 \end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix} 60 \\ 70 \end{pmatrix}$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$.

1. 1. Déterminer $U_1$.
   $a_1 = 0,7 \times 300 + 0,2 \times 300 + 60 = 330$
   et $b_1 = 0,1 \times 300 + 0,6 \times 300 + 70 = 280$
   Donc $U_1 = \begin{pmatrix} 330 \\\\280 \end{pmatrix}$.
   $~$
   
   2. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = M \times U_n +P$.
   $$ \begin{array}{l} M \times U_n + P &= \begin{pmatrix} 0,7\times a_n + 0,2\times b_n \\\\0,1 \times a_n + 0n6 \times b_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 60 \\\\70 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0,7 \times a_n + 0,2\times b_n + 60\\\\0,1 \times a_n + 0,6 \times b_n + 70 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} a_{n+1}\\\\b_{n+1} \end{pmatrix} \\ &=U_{n+1}
   \end{array}$$
2. On note $I$ la matrice $ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
   1. Calculer $(I - M)\times \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.
   $(I – M) = \begin{pmatrix} 0,3&-0,2 \\\\ -0,1&0,4 \end{pmatrix}$
   Donc $(I-M) \times \begin{pmatrix} 4&2\\\\1&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0 \\\\0&1 \end{pmatrix} = I$.
   $~$
   
   2. En déduire que la matrice $I - M$ est inversible et préciser son inverse.
   Par conséquent $I-M$ est inversible et son inverse est $\begin{pmatrix} 4&2\\\\1&3 \end{pmatrix}$.
   $~$
   
   3. Déterminer la matrice $U$ telle que $U = M \times U + P$.
   On veut que :
   $$\begin{array} {l}U = M \times U + P & \Leftrightarrow U – M \times U = P \\ & \Leftrightarrow (I-M)U = P \\ &\Leftrightarrow U = (I – M)^{-1} \times P \\ & \Leftrightarrow U = \begin{pmatrix} 380 \\\\270 \end{pmatrix} \end{array}$$
3. Pour tout entier naturel, on pose $V_n = U_n - U$.
   1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = M \times V_n$.
   $$\begin{array} V_{n+1} &= U_{n+1}-U \\ & = M \times U_n + P -(M \times U + P) \\ &= M \times U_n – M \times U \\ &= M \times (U_n – U) \\ &= M \times V_n \end{array}$$
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $V_n = M^n \times V_0$.
   Montrons ce résultat par récurrence.
   
   • Initialisation : $M^0 \times V_0 = I \times V_0 = V_0$.
     La propriété est vraie au rang $0$.
   $~$
   
   • Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $V_n = M^n \times V_0$.
     Alors $V_{n+1} = M \times V_n = M \times M^n \times V_0 = M^{n+1} \times V_0$.
     La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $~$
   
   • Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
     
     Donc pour tout entier naturel $n$, $V_n = M^n \times V_0$.
4. On admet que, pour tout entier naturel $n$,
   \[V_n = \begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \\ \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \end{pmatrix}\]
   
   1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $(a_n)$.
   On a donc $$U_n = V_n + U = \begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3} \times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380 \\\\ \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 270 \end{pmatrix}$$
   Par conséquent $a_n = \dfrac{-100}{3} \times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380$.
   Or $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,8^n = 0$ car $-1 < 0,8 < 1$
   et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n = 0$ car $-1 < 0,5 < 1$.
   
   Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n = 380$.
   $~$
   
   2. Estimer le nombre d'abonnés de l'opérateur A à long terme.
   A long terme l’opérateur A aura donc $380~000$ abonnés.