Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Annales S 2015.

Baccalauréat S Liban 27 mai 2015

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats

ABCDEFGH est un cube.

I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [EH], K est le milieu du segment [BC] et L est le milieu du segment [CG]. On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~ \vec{\text{AD}},~ \vec{\text{AE}}\right)$.

    1. Démontrer que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).
    2. En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).
  3. Soit $M$ le point d'intersection de la droite (FD) et du plan (IJK). Déterminer les coordonnées du point $M$.
  4. Déterminer la nature du triangle IJK et calculer son aire.
  5. Calculer le volume du tétraèdre FIJK.
  6. Les droites (IJ) et (KL) sont-elles sécantes ?

Correction de l'exercice 1 (5 points)


Commun à tous les candidats

ABCDEFGH est un cube.

I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [EH], K est le milieu du segment [BC] et L est le milieu du segment [CG]. On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~ \vec{\text{AD}},~ \vec{\text{AE}}\right)$.

    1. Démontrer que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).
      2. Déterminons tout d’abord les coordonnées de quelques points :
      $I(0,5;0;0)$, $J(0;0,5;1)$, $K(1;0,5;0)$, $F(1;0;1)$ et $D(0;1;0)$
      Ainsi $\vec{IJ}(-0,5;0,5;1)$, $\vec{IK}(0,5;0,5;0)$ et $\vec{DF}(1;-1;1)$.
      Les vecteurs $\vec{IJ}$ et $\vec{IK}$ ne sont clairement pas colinéaires. Ils définissent donc bien le plan $(IJK)$.
      $\vec{DF}.\vec{IJ} = -0,5 \times 1 + 0,5 \times (-1) + 1 \times 1 = 0$.
      $\vec{DF}.\vec{IK} = 0,5 \times 1 + 0,5 \times (-1) + 0 \times 1 = 0$.
      Ainsi le vecteur $\vec{DF}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IJK)$. C’est donc un vecteur normal de ce plan.
      La droite $(DF)$ est bien orthogonale au plan $(IJK)$.
      $\quad$
    2. En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).
      3. Une équation du plan $(IJK)$ est donc de la forme :
      $$x-y+z+d=0$$
      Le point $I(0,5;0;0)$ appartient au plan donc
      $$0,5 + d =0 \iff d=-0,5$$
      Une équation du plan $(IJK)$ est donc :
      $$x-y+z-0,5 = 0$$
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).
    3. En utilisant le point $F$ et le vecteur $\vec{DF}$ ont obtient la représentation paramétrique suivante de la droite $(DF)$ :
    $$\begin{cases} x=1 +t\\y=-t\\z=1+t \end{cases} \qquad t\in \mathbb R$$
    $\quad$
  3. Soit $M$ le point d'intersection de la droite (FD) et du plan (IJK). Déterminer les coordonnées du point $M$.
    4. Les coordonnées du point $M$ vérifient à la fois les équations de $(DF)$ et l’équation de $(IJK)$.
    On obtient ainsi :
    $1+t – (-t)+1+t-0,5= 0 \iff 3t = -1,5 \iff t = -0,5$
    On utilise cette valeur de $t$ dans les équations de $(DF)$ pour trouver les coordonnées de $M$ :
    $$\begin{cases} x_M = 0,5\\y_M=0,5\\z_M=0,5 \end{cases}$$
    $\quad$
  4. Déterminer la nature du triangle IJK et calculer son aire.
    5. $IJ = \sqrt{(-0,5)^2+0,5^2+1^2} = \sqrt{1,5}$
    $IK = \sqrt{0,5^2+0,5^2} = \sqrt{0,5}$
    $KJ = \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{2}$
    Dans le triangle $IJK$ le plus grand côté est $KJ$.
    Or $KJ^2 = 2$ et $IJ^2+IK^2 = 1,5+0,5=2$
    Ainsi $KJ^2=IJ^2+IK^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $IJK$ est rectangle en $I$.
    L’aire de $IJK$ est $\mathscr{A} = \dfrac{\sqrt{1,5} \times \sqrt{0,5}}{2}= \dfrac{\sqrt{0,75}}{2}$.
  5. Calculer le volume du tétraèdre FIJK.
    6. $[MF]$ est la hauteur issue de $F$ du tétraèdre $FIJK$.
    $MF^2=(1-0,5)^2+(-0,5)^2+(-0,5)^2 = 1,125$ ainsi $MF=\sqrt{0,75}$
    Donc le volume de $FIJK$ est :

    $$\mathscr{V} = \dfrac{1}{3}\times \text{Aire de la base}\times \text{Hauteur}=\dfrac{1}{3}\mathscr{B}h$$ $$\mathscr{V} = \dfrac{\sqrt{0,75}\times \sqrt{0,75}}{6} = \dfrac{0,75}{6} = \dfrac{1}{8}$$

  6. Les droites (IJ) et (KL) sont-elles sécantes ?

    7. On a $\vec{IJ}(-0,5;0,5;1)$ et $\vec{KL}(1;0,5;0)$.

     

    Ces 2 vecteurs ne sont pas colinéaires donc les droites ne sont pas parallèles.Regardons si les droites sont sécantes. Une représentation paramétrique de $(IJ)$ est $$\begin{cases}x=0,5 -0,5t\\y=0,5t\\z=t\end{cases} \qquad t\in\mathbb R$$

     

    Une représentation paramétrique de $(KL)$ est $$\begin{cases} x=1\\y=0,5+0,5k\\z=0,5k\end{cases} \qquad k\in\mathbb R$$

     

    Résolvons le système : $$\begin{align*} \begin{cases}0,5-0,5t=1\\0,5t=0,5+0,5k\\t=0,5k \end{cases} &\iff \begin{cases}t=-1\\-0,5=0,5+0,5k\\-1=0,5k \end{cases}\iff \begin{cases} t=-1\\k=-2\\k=-2 \end{cases} \end{align*}$$ Les deux droites sont donc sécantes en $P(1;-0,5;-1)$.
    Remarque : On pouvait aussi vérifier que le point $L$ appartient bien au plan $(IJK)$.

     

      On obtient ainsi deux droites coplanaires non parallèles donc sécantes.

    Une figure avec Geogebra

     


    Exercice 2 6 points


    Commun à tous les candidats


    On définit la suite $\left(u_n\right)$ de la façon suivante : pour tout entier naturel $n$,  $u_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \:\text{d}x$.

    1. Calculer $u_0 = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1 + x} \:\text{d}x$.
      1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n + 1}$.
      2. En déduire la valeur exacte de $u_1$.
      1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche en sortie le terme de rang $n$ de la suite $\left(u_n\right)$ où $n$ est un entier naturel saisi en entrée par l'utilisateur. $$ \begin {array}{|cc|}\hline \text{Variables :}& i \text{ et } n \text{ sont des entiers naturels}\\ & u \text{ est un réel}\\ \text{Entrée :}& \text{Saisir } n \\ \text{Initialisation :}& \text{Affecter à } u \text{ la valeur } \ldots\\ \text{Traitement :}& \text{ Pour } i \text{ variant de 1 à } \ldots\\ &\hspace{0.4cm} | \text{ Affecter à } u \text{ la valeur }\ldots\\ & \text{Fin de Pour }\\ \text{ Sortie :}& \text{ Afficher } u \\ \hline \end {array} $$
      2. À l'aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant : $$\begin {array}{ |c|c| c|c|c|c| c|c|c|}\hline n & 0 &1 &2 &3 &4 &5 &10 &50 &100\\ \hline u_n & 0,6931 & 0,3069 & 0,1931 & 0,1402 & 0,1098 & 0,0902 & 0,0475 & 0,0099 & 0,0050 \\ \hline \end {array}$$ Quelles conjectures concernant le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ peut-on émettre ?
      1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
      2. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    5. On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Démontrer que $\ell = 0$.

    Exercice 2 6 points


    Commun à tous les candidats


    On définit la suite $\left(u_n\right)$ de la façon suivante : pour tout entier naturel $n$,  $u_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \:\text{d}x$.

    1. Calculer $u_0 = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1 + x} \:\text{d}x$.
      2. $\begin{align*} u_0 &=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+x}\mathrm{d}x\\ &= \left[\ln(1+x)\right]_0^1\\ &=\ln 2 – \ln 1\\ &=\ln 2 \end{align*}$
      1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n + 1}$.
        2. $\begin{align*} u_{n+1}+u_n &= \displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}}{1+x} \mathrm{d}x + \int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x}\mathrm{d}x\\ &= \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}+x^n}{1+x}\mathrm{d}x\\ &=\int_0^1 \dfrac{x^n(1+x)}{1+x}\mathrm{d}x\\ &=\int_0^1 x^n \mathrm{d}x\\ &=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1\\ &=\dfrac{1}{n+1}
        \end{align*}$
      2. En déduire la valeur exacte de $u_1$.
        3. On a ainsi $u_1+u_0 = 1 \iff u_1 = 1 – \ln 2$
      1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche en sortie le terme de rang $n$ de la suite $\left(u_n\right)$ où $n$ est un entier naturel saisi en entrée par l'utilisateur. $$ \begin {array}{|cc|}\hline \text{Variables :}& i \text{ et } n \text{ sont des entiers naturels}\\ & u \text{ est un réel}\\ \text{Entrée :}& \text{Saisir } n \\ \text{Initialisation :}& \text{Affecter à } u \text{ la valeur } \ldots\\ \text{Traitement :}& \text{ Pour } i \text{ variant de 1 à } \ldots\\ &\hspace{0.4cm} | \text{ Affecter à } u \text{ la valeur }\ldots\\ & \text{Fin de Pour }\\ \text{ Sortie :}& \text{ Afficher } u \\ \hline \end {array} $$
        2. $\quad$
        Variables :
        $\quad$ $i$ et $n$ sont des entiers naturels
        $\quad$ $u$ est un réel
        Entrée :
        $\quad$ Saisir $n$
        Initialisation :
        $\quad$ Affecter à $u$ la valeur $\ln 2$
        Traitement :
        $\quad$ Pour $i$ variant de $1$ à $n$
        $\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{i} – u$
        $\quad$ Fin de Pour
        Sortie :
        $\quad$ Afficher $u$
        $\quad$
      2. À l'aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant : $$\begin {array}{ |c|c| c|c|c|c| c|c|c|}\hline n & 0 &1 &2 &3 &4 &5 &10 &50 &100\\ \hline u_n & 0,6931 & 0,3069 & 0,1931 & 0,1402 & 0,1098 & 0,0902 & 0,0475 & 0,0099 & 0,0050 \\ \hline \end {array}$$ Quelles conjectures concernant le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ peut-on émettre ?
        3. La suite $(u_n)$ semble être décroissante et converger vers $0$.
      1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
        2. $\begin{align*} u_{n+1}-u_n &= \displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}}{1+x}\mathrm{d}x – \int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x}\mathrm{d}x\\ &= \int_0^1 \dfrac{x^n(x-1)}{1+x} \mathrm{d}x \end{align*}$
        Or sur $[0;1]$, $x^n \ge 0$, $1+x > 0$ et $x-1 \le 0$
        Donc $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^n(x-1)}{1+x}\mathrm{d}x \le 0$ (puisque la fonction qu’on intègre est continue sur $[0;1]$).
        Ainsi la suite $(u_n)$ est décroissante.
      2. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
        3. La fonction définie sur $[0;1]$ par $x \mapsto \dfrac{x^n}{1+x}$ est continue et positive pour tout $n$.
        Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_n \ge 0$.
        La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$. Elle converge donc.
    5. On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Démontrer que $\ell = 0$.
      6. On a, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}+u_n = \dfrac{1}{n+1}\; (1)$.
      Or $\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n+1} = 0$, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n+1} = l$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = l$
      Donc, en prenant les limites dans l'égalité $(1) : \;$ $\ell + \ell = 0$ soit $\ell = 0$

    Exercice 3 : 3 points


    Fonctions


    On considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = \text{e}^x$, tracée ci-dessous.

    Pour tout réel $m$ strictement positif, on note $\mathcal{D}_m$ la droite d'équation $y = mx$.

    1. Dans cette question, on choisit $m = \text{e}$. Démontrer que la droite $\mathcal{D}_{\text{e}}$, d'équation $y = \text{e}x$, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1.
    2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif $m$, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}_m$.
    3. Démontrer cette conjecture.

     


    Correction de l'exercice 3 (3 points)


    Commun à tous les candidats


    Fonctions


    On considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = \text{e}^x$, tracée ci-dessous.

    Pour tout réel $m$ strictement positif, on note $\mathcal{D}_m$ la droite d'équation $y = mx$.

    1. Dans cette question, on choisit $m = \text{e}$. Démontrer que la droite $\mathcal{D}_{\text{e}}$, d'équation $y = \text{e}x$, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1.
      2. La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb R$ de dérivée elle-même.
      La tangente au point d’abscisse $1$ a pour équation $y=\text{e}^1(x-1) + \text{e}^1$ soit $y=\text{e} x$.
      Ainsi $\mathscr{D}_{\text{e}}$ est bien tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en son point d’abscisse $1$.
    2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif $m$, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}_m$.
      3. On peut conjecturer que :
      – si $0\le m<\text{e}$ il n’y a pas de point d’intersection
      – si $m=\text{e}$ il y a un point d’intersection
      – si $m>\text{e}$ il y a deux points d’intersection
      $\quad$
    3. Démontrer cette conjecture.
      4. On appelle $f_m$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f_m(x)= \text{e}^x-mx$
      Cette fonction est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que somme de fonctions dérivables.
      $f_m'(x)=\text{e}^x-m$.
      $f_m'(x) > 0 \iff x > \ln m$.
      On obtient ainsi le tableau de variations suivant :


      En effet $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^x \left(1 – mx\text{e}^{-x}\right) = +\infty$.
      On utilise la limite usuelle : $ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}= +\infty$ , d'où on déduit $ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x}= 0$
      Et $\lim\limits_{x\to -\infty} \text{e}^x = 0$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f_m(x) = +\infty$
      Si $ 0 < m < \text{e} $ alors en appliquant la fonction $\ln$ strictement croissante sur $]0;+\infty[$, $\ln m< \ln\text{e}$, soit $\ln m< 1$
      Alors $1-\ln m>0$ et $m>0$, donc le minimum $m(1-\ln m )$ de $f_m$ est strictement positif.
      et la fonction $f_m$ est toujours positive sur $\mathbb R$.
      $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}_m$ n’ont donc aucun point en commun.
      $\quad$
      Si $m=\text{e}$ il n’y a qu’un seul point commun car $m-m\ln m =\text{e}-\text{e}\ln \text{e}= 0$
      $\quad$
      Si $m> \text{e}$ Ainsi $m – m\ln m = m(1-\ln m) <0$.
      D'après le théorème de la bijection :
      • $\1 $ est une fonction dérivable (donc continue) sur l' intervalle $I = \left]\2 ; \3\right]$.
      • $\1$ est strictement décroissante sur l' intervalle $I = \left]\2 ; \3\right]$.
      • $\lim\limits_{x \to \2}~\1(x)=\4$ et $\1 \left(\3\right)=\5$
      $\1$ réalise donc une bijection de $\left]\2 ; \3\right]$ sur $\left[\5;\4\right[$
      $\6\in \left[\5;\4\right[$,
      donc l'équation $\1(x) = \6 $ a une racine unique $\7$ dans $\left]\2 ; \3\right]$ .

      D'après le théorème de la bijection :
      • $\1 $ est une fonction dérivable  donc  continue  sur l' intervalle $I = \left[\2 ; \3\right[$.
      • $\1$ est strictement croissante sur l' intervalle $I = \left[\2 ; \3\right[$.
      • $\1 \left(\2\right)=\4$ et $\lim\limits_{x \to \3}~\1(x)=\5$
      $\1$ réalise donc une bijection de $\left[\2 ; \3\right[$ sur $\left[\4;\5\right[$
      $\6\in \left[\4;\5\right[$,
      donc l'équation $\1(x) = \6 $ a une racine unique $\7$ dans $\left[\2 ; \3\right[$ .

      Il y a donc bien 2 points d’intersection.

    Une animation Geogebra :

     


    Exercice 4 5 points


    Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


    En prévision d'une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intentions de vote de futurs électeurs. Parmi les 1200 personnes qui ont répondu au sondage, 47 % affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B.
    Compte-tenu du profil des candidats, l'institut de sondage estime que 10 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que 20% des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.
    On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :

    • $A$ l'évènement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A » ;
    •  $B$ l'évènement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B » ;
    • $V$ l'évènement « La personne interrogée dit la vérité ».

     

    1. Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.
      1. Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité.
    3. Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est $0,529$.
    4. L'institut de sondage publie alors les résultats suivants : $$ \begin {array}{|c|}\hline \text{52,9% des électeurs* voteraient pour le candidat A.}\\ \text{* estimation après redressement, fondée sur un sondage d'un échantillon représentatif de 1200 personnes.}\\ \hline \end {array} $$ Au seuil de confiance de 95%, le candidat A peut- il croire en sa victoire ?
    5. Pour effectuer ce sondage, l'institut a réalisé une enquête téléphonique à raison de 10 communications par demi-heure. La probabilité qu'une personne contactée accepte de répondre à cette enquête est $0,4$. L'institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de 1200 réponses. Quel temps moyen, exprimé en heures, l'institut doit-il prévoir pour parvenir à cet objectif ?

    Correction de l'exercice 4 5 points


    Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


    En prévision d'une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intentions de vote de futurs électeurs. Parmi les 1200 personnes qui ont répondu au sondage, 47 % affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B.
    Compte-tenu du profil des candidats, l'institut de sondage estime que 10 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que 20% des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.
    On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :

    • $A$ l'évènement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A » ;
    •  $B$ l'évènement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B » ;
    • $V$ l'évènement « La personne interrogée dit la vérité ».

     

    1. Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.
      1. Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité.
        2. D’après la formule des probabilités totales on a :
        $$\begin{align*} p(V) &= p(A\cap V)+p(B\cap V)\\& =0,47 \times 0,9 + 0,53 \times 0,8\\ & = 0,847 \end{align*}$$
      2. Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu'elle affirme vouloir voter pour le candidat A.
        3. $p_V(A) = \dfrac{p(V \cap A)}{p(V)} = \dfrac{0,47 \times 0,9}{0,847}$ $=\dfrac{423}{847}$
        $\quad$
    3. Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est $0,529$.
      4. La probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est donnée par :
      $$\begin{align*} p(A \cap V) + p\left(B \cap \overline{V}\right) &= 0,47 \times 0,9 + 0,53 \times 0,2\\ &= 0,529 \end{align*}$$
    4. L'institut de sondage publie alors les résultats suivants : $$ \begin {array}{|c|}\hline \text{52,9% des électeurs* voteraient pour le candidat A.}\\ \text{* estimation après redressement, fondée sur un sondage d'un échantillon représentatif de 1200 personnes.}\\ \hline \end {array} $$ Au seuil de confiance de 95%, le candidat A peut- il croire en sa victoire ?
      5. On a $n= 1~200 > 30$ et $f=0,529$
      Donc $nf = 634,8 >5$ et $n(1-f) = 565,2 > 5$
      On peut donc déterminer un intervalle de confiance :
      $\begin{align*} I_{1~200} &= \left[0,529 – \dfrac{1}{\sqrt{1~200}};0,529 + \dfrac{1}{\sqrt{1~200}}\right]\\
      & \approx [0,5001;0,5579]
      \end{align*}$
      Or $0,5001 > 0,5$ donc le candidat A peut croire ne sa victoire.
    5. Pour effectuer ce sondage, l'institut a réalisé une enquête téléphonique à raison de 10 communications par demi-heure. La probabilité qu'une personne contactée accepte de répondre à cette enquête est $0,4$. L'institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de 1200 réponses. Quel temps moyen, exprimé en heures, l'institut doit-il prévoir pour parvenir à cet objectif ?
      6. Soit $n$ le nombre de demi-heures nécessaires à cette enquête.
      On a ainsi contacté $10n$ personnes et $10n \times 0,4 = 4n$ personnes ont répondu à cette enquête.
      On veut donc que $4n = 1~200$ soit $n = 300$.
      Il faut donc prévoir $300$ demi-heure soit $150$ heures pour que l’institut parvienne à son objectif.

    Spécialité 5 points


    Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


    Un fumeur décide d'arrêter de fumer. On choisit d'utiliser la modélisation suivante :

    • s'il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;
    • s'il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.

    On appelle $p_n$ la probabilité de ne pas fumer le $n$-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer et $q_n$, la probabilité de fumer le $n$-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer. On suppose que $p_0 = 0$ et $q_0 = 1$.

    1. Calculer $p_1$ et $q_1$.
    2. On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites $\left(p_n\right)$ et $\left(q_n\right)$. Une copie d'écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous : $$ \begin {array}{|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D\\ \hline 1 &n &p_n &q_n &\\ \hline 2 &0 &0 &1 &\\ \hline 3 &1 & & &\\ \hline 4 &2 & & &\\ \hline 5 &3 & & &\\ \hline \end {array} $$ Dans la colonne A figurent les valeurs de l'entier naturel $n$. Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu'en les recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites $\left(p_n\right)$ et $\left(q_n\right)$ ?
    3. On définit les matrices $M$ et, pour tout entier naturel $n$, $X_n$ par $$M = \begin{pmatrix}0,9& 0,4\\0,1& 0,6\end{pmatrix}\quad \text{et}\quad X_n = \begin{pmatrix}p_n\\q_n \end{pmatrix}.$$ On admet que $X_{n+1} = M \times X_n$ et que, pour tout entier naturel $n$,\: $X_n = M^n \times X_0$. On définit les matrices $A$ et $B$ par $A = \begin{pmatrix}0,8&0,8\\0,2&0,2\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,2& - 0,8\\- 0,2&0,8\end{pmatrix}$.
      1. Démontrer que $M = A + 0,5B$.
      2. Vérifier que $A^2 = A$, et que $A \times B = B \times A = \begin{pmatrix}0& 0\\0& 0\end{pmatrix}$. On admet dans la suite que, pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $A^n = A$ et $B^n = B$.
      3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,  $M^n = A + 0,5^n B$.
      4. En déduire que, pour tout entier naturel $n$  $p_n = 0,8 - 0,8 \times 0,5^n$.
      5. À long terme, peut-on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?

     


    Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


    Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


    Un fumeur décide d'arrêter de fumer. On choisit d'utiliser la modélisation suivante :

    • s'il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;
    • s'il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.

    On appelle $p_n$ la probabilité de ne pas fumer le $n$-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer et $q_n$, la probabilité de fumer le $n$-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer. On suppose que $p_0 = 0$ et $q_0 = 1$.

    1. Calculer $p_1$ et $q_1$.
      2. On a $p_1 = 0,9p_0 + 0,4q_0 = 0,4$ et $q_1 = 1 – p_1 = 0,6$.
    2. On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites $\left(p_n\right)$ et $\left(q_n\right)$. Une copie d'écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous : $$ \begin {array}{|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D\\ \hline 1 &n &p_n &q_n &\\ \hline 2 &0 &0 &1 &\\ \hline 3 &1 & & &\\ \hline 4 &2 & & &\\ \hline 5 &3 & & &\\ \hline \end {array} $$ Dans la colonne A figurent les valeurs de l'entier naturel $n$. Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu'en les recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites $\left(p_n\right)$ et $\left(q_n\right)$ ?
      3. En $B3$ on peut écrire : $=0,9*B2+0,4*C2$ et en $C3$ on peut écrire $=1-B3$.
    3. On définit les matrices $M$ et, pour tout entier naturel $n$, $X_n$ par $$M = \begin{pmatrix}0,9& 0,4\\0,1& 0,6\end{pmatrix}\quad \text{et}\quad X_n = \begin{pmatrix}p_n\\q_n \end{pmatrix}.$$ On admet que $X_{n+1} = M \times X_n$ et que, pour tout entier naturel $n$,\: $X_n = M^n \times X_0$. On définit les matrices $A$ et $B$ par $A = \begin{pmatrix}0,8&0,8\\0,2&0,2\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,2& - 0,8\\- 0,2&0,8\end{pmatrix}$.
      1. Démontrer que $M = A + 0,5B$.
        2. $\begin{align*} A+0,5B &= \begin{pmatrix} 0,8&0,8 \\0,2& 0,2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0,1&-0,4\\-0,1&0,4 \end{pmatrix}\\
        &= \begin{pmatrix} 0,9&0,4 \\0,1&0,6 \end{pmatrix}\\
        &= M
        \end{align*}$
      2. Vérifier que $A^2 = A$, et que $A \times B = B \times A = \begin{pmatrix}0& 0\\0& 0\end{pmatrix}$. On admet dans la suite que, pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $A^n = A$ et $B^n = B$.
        3. $A^2 = \begin{pmatrix} 0,8^2 + 0,8 \times 0,2&0,8^2 + 0,8 \times 0,2 \\0,8\times 0,2 + 0,2^2&0,2\times 0,8 + 0,2^2\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0,8 & 0,8 \\0,2&0,2\end{pmatrix}$ $=A$.
        $\quad$
        $A \times B = \begin{pmatrix} 0,8 \times 0,2 – 0,8 \times 0,2 & -0,8^2+0,8^2 \\0,2^2 – 0,2^2 & -0,8 \times 0,2 + 0,2 \times 0,8\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$
        $\quad$
        $B \times A = \begin{pmatrix} 0,2 \times 0,8 – 0,8 \times 0,2 & 0,2 \times 0,8 – 0,8\times 0,2 \\-0,2 \times 0,8 + 0,2 \times 0,8 & -0,2 \times 0,8 + 0,2 \times 0,8 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$.
        $\quad$
      3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,  $M^n = A + 0,5^n B$.
        4. Montrons le résultat par récurrence.
        Initialisation : si $n=0$ alors $M^0 = \text{Id}$ et $A+0,5^0B = A+B = \text{Id}$
        La propriété est donc vraie au rang $0$
        $\quad$
        Hérédité : supposons la propriété vraie au rang $n$ : $M^n=A+0,5^nB$.
        $\begin{align*} M^{n+1} &= M \times M^n\\ &=(A+0,5B)\left(A + 0,5^nB\right)\\ &=A^2 +0,5^nAB + 0,5AB + 0,5^{n+1}B\\ &= A+0,5^{n+1}B \end{align*}$
        La propriété est donc vraie au rang $n+1$
        $\quad$
        Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $M^n = A +0,5^nB$.
        $\quad$
      4. En déduire que, pour tout entier naturel $n$  $p_n = 0,8 - 0,8 \times 0,5^n$.
        5. On a $X_n = M^n \times X_0$
        Or $M^n = \begin{pmatrix} 0,8 + 0,5^n \times 0,2&0,8 – 0,5^n \times 0,8 \\0,2 – 0,5 ^n \times 0,2 & 0,2 + 0,5^n \times 0,8 \end{pmatrix}$
        Et $X_0 = \begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}$
        Donc $p_n = 0,8 – 0,5^n \times 0,8$
        $\quad$
      5. À long terme, peut-on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?
        6. $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n = 0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} p_n = 0,8$.
        Le fumeur a donc de grande chance d’arrêter de fumer mais, puisque $\lim\limits_{n \to +\infty} p_n \neq 1$, on ne peut pas l’affirmer avec certitude.