Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Nouvelle-Calédonie 27 novembre 2018 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Suites

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.
La société Héliocel fabrique des cellules photovoltaïques destinées à être assemblées pour former des panneaux solaires qui seront ensuite installés sur le toit d'habitations pour produire de l'électricité.

Partie A

On estime que 5 % des cellules fabriquées par Héliocel présentent un défaut et sont donc inutilisables.
On prélève au hasard un lot de $80$ cellules dans la production pour vérification. Le nombre de cellules produites est suffisamment important pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de $80$ cellules. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de $80$ cellules, associe le nombre de cellules inutilisables.

1. La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=80$ et $p=0,05$.
2. Quelle est la probabilité qu'un lot ne contienne aucune cellule inutilisable ?
$$P(X=0)=(1-0,05)^{80}\approx 0,017$$ Arrondie au millième près, la probabilité qu'un lot ne contienne aucune cellule inutilisable est 0,017.
3. Un panneau solaire est constitué de $75$ cellules. Quelle est la probabilité d'avoir assez de cellules sans défaut dans un seul lot pour pouvoir fabriquer un panneau ?
Dans un lot de 80 cellules, il y a au moins 75 cellules sans défaut si le nombre de cellules défectueuses est inférieur ou égal à 4. À la calculatrice, on obtient : $P(X\leq 4)\approx 0,629$

 

2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Arrondie au millième près, la probabilité qu'un lot contienne au moins 75 cellules sans défaut est 0,629.

 

Partie B

La fréquence observée des cellules inutilisables dans l'échantillon est $f=\dfrac{9}{180\times 75}=0,05$.

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

Soit avec des valeurs approchées à $10^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence des cellules inutilisables dans un échantillon de taille 180 est $I=[0,0050,055]$.
$0,05\in [0,0050,055]$ donc l'hypothèse d'une proportion de 3 % de cellules inutilisables n'est pas remise en cause.

Partie C

Une famille décide d'installer 15 de ces panneaux solaires sur le toit de sa maison pour produire de l'électricité. La production électrique dépend de l'ensoleillement. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque journée, associe la production électrique (en kWh) fournie par ces 15 panneaux. On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 9$ et d'écart-type $\sigma = 3$.

1. Quelle est la probabilité que la production journalière de l'installation de cette famille soit comprise entre $6$ kWh et $12$ kWh ?
D'après le cours, si la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ alors $P(\mu-\sigma\leq Y\leq \mu+\sigma)\approx0,683$
d'où $P(6\leq Y\leq 12)\approx 0,683$.
Ou un calcul direct donne :

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

Arrondie au millième près, la probabilité que la production journalière de l'installation de cette famille soit comprise entre 6 kWh et 12 kWh est 0,683.
2. Parmi les trois fonctions de densité de probabilité représentées ci-dessous, laquelle peut être celle de la loi de $Y$ ? Justifier.
   
Méthode 1 :
Soit $f$ la fonction densité de probabilité de la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=9$ et d'écart-type $\sigma=3$ à l'aide de la calculatrice, on trouve f$⁡(9)\approx 0,133$ donc la courbe $C_2$ est la seule des trois courbes qui convient.
Méthode 2 :
La courbe représentative de la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=9$ et d'écart-type $\sigma=3$ admet pour axe de symétrie la droite d'équation $x=9$ donc la courbe $C_3$ ne convient pas.
L'aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire $Y$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=6$ et $x=12$ est égale à 0,683. Donc la courbe $C_1$ ne convient pas.
La courbe $C_2$ est la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire $Y$.
3. La consommation moyenne de cette famille est $13$ kWh/jour. Quelle est la probabilité que la production journalière de son installation soit supérieure à sa consommation moyenne quotidienne ?

 

2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Arrondie au millième près, la probabilité qque la production journalière de l'installation soit supérieure à la consommation moyenne quotidienne est 0,091.