Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 16 juin 2017 - Exercice 2
Exercice 2 7 points
En 1648, Blaise Pascal a demandé à son beau-frère Florin Périer de mesurer la hauteur de mercure dans deux baromètres, l'un situé à Clermont-Ferrand et l'autre en haut de la montagne la plus proche, le Puy-de-Dôme. Florin Périer a constaté que la hauteur de mercure dans le baromètre situé en haut du Puy-de-Dôme était inférieure à la hauteur de mercure dans le baromètre situé plus bas, à Clermont-Ferrand. Cette expérience a permis de montrer que la pression atmosphérique diminue lorsque l’altitude augmente.
Dans cet exercice, la pression atmosphérique est exprimée en hectopascal (hPa) .
On rappelle que la pression atmosphérique vaut $ 1013,25\; hPa $ au niveau de la mer.
Partie A : Une règle simplifiée
Pour évaluer la pression atmosphérique, les alpinistes utilisent la règle simplifiée suivante : « la pression atmosphérique diminue de $0,11$ hectopascal quand l’altitude augmente de 1 mètre ».
- Recopier et compléter le tableau suivant en utilisant cette règle :
altitude(en mètre) 0 800 1500 2000 pression atmosphérique (en hPa) 1013,25 - Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la pression atmosphérique en hPa à l’altitude de $n$ mètres calculée avec la règle simplifiée. Ainsi $u_0 =1 013,25$.
- Calculer $u_1$ et $u_2$.
- Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
- On admet que pour tout entier naturel $n,\ u_n = u_0 - 0,11 n$. En déduire l’altitude, exprimée en mètre, à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à $950\; hPa$ .
Partie B : La formule barométrique
On considère l’équation différentielle (E) : \[y' + 0,12 y = 0\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ est la fonction dérivée de $y$. Pour de faibles valeurs de l’altitude, les scientifiques ont démontré que la fonction $f$ qui, à l’altitude $x$ en kilomètre , associe la pression atmosphérique en hectopascal est la solution de l’équation différentielle (E) qui vérifie $f(0) = 1013,25 $ .
-
- Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E).
- Démontrer que la solution $f$ de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0)= 1 013,25$ est la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x)= 1013.25 \text{e}^{-0,12x}\]
- En utilisant la fonction $f$ :
- Calculer une valeur approchée à $0,01$ près de la pression atmosphérique à 150 mètres d’altitude.
- Calculer l’altitude, arrondie au mètre, correspondant à une pression atmosphérique de $900 \; hPa$ .
- On pose $v_n = f(n)$, pour tout entier naturel $n$. Justifier qu’avec ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.
Partie C : La formule du nivellement barométrique
La formule de la partie B ne tient pas compte des changements de température et ne peut donc être utilisée que pour de faibles altitudes. Pour des altitudes plus élevées, on utilise la fonction $p$ qui à l’altitude $x$ en kilomètre associe la pression atmosphérique en hPa : \[p(x)= 1013,25 \left(1-\dfrac{6,5x}{288,15}\right)^{ 5.255 }\]
- Calculer la pression atmosphérique (en hPa, arrondie à l’unité) au sommet de l’Everest dont l’altitude est 8848 mètres.
- Recopier et compléter l’algorithme suivant en utilisant la fonction $p$, de façon à ce qu’il affiche en sortie l’altitude (estimée à $100$ mètres près) à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à 400 hPa. $$ \begin{array}{|ll|} \hline \text{Variables} &A \text{ un nombre réel }\\ &P \text{ un nombre réel}\\ \text{Début}& \\ & A \text{ prend la valeur 0}\\ & P \text{ prend la valeur 1013.25}\\ & \text{Tant que} \dots \text{faire}\\ &\hspace{4em} \begin{array}{|l} A \text{ prend la valeur } A + 0,1 \\ P \text{ prend la valeur } \dots\\ \end{array}\\ &\text{Fin tant que}\\ &\text{ Afficher } \dots\\ &\text{Fin}\\ \hline \end{array}$$
Correction Exercice 2
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