BAC STL, STI2D Métropole 16 juin 2017 - Exercice 3

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Exercice 3 4 points

Probabilités

Un chef cuisinier décide d’ajouter un « menu terroir » à la carte de son restaurant. S’appuyant sur sa longue expérience, le restaurateur pense qu’environ 30% des clients choisiront ce menu. Ceci le conduit à faire l’hypothèse que la probabilité qu’un client, pris au hasard, commande le « menu terroir » est $ p = 0,3$.

Partie A

Afin de tester la validité de son hypothèse, le restaurateur choisit au hasard 100 clients et observe que 26 d’entre eux ont commandé un « menu terroir » .
Après discussion avec son comptable, le restaurateur décide d’accepter l’hypothèse que $p = 0,3$.
À l’aide d’un intervalle de fluctuation asymptotique à 95%, justifier cette décision.

Partie B

Une agence de voyage a réservé toutes les tables du restaurant pour la semaine à venir. Le restaurateur sait ainsi que 1000 clients viendront déjeuner chacun une fois durant la semaine. Le nombre de « menus terroir » qui seront alors commandés est une variable aléatoire $X$.
On considère que la probabilité qu’un des clients commande un « menu terroir « est $p = 0,3$.

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
   1. Donner ses paramètres.
   2. Déterminer la probabilité que le nombre de « menu terroir « commandés soit inférieur ou égal à 315.
2. On décide d’approcher la loi binomiale précédente par la loi normale d'espérance $\mu = 300$ et d’écart type $\sigma = 14,49$.
   Justifier les valeurs de $\mu$ et $\sigma$.
   Dans la suite de l’exercice, on utilisera cette approximation par la loi normale. Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
3. 1. Estimer $P(285 \leqslant X \leqslant315)$.
   2. Estimer $P( X\geqslant 350) $ et interpréter le résultat obtenu.