Baccalauréat STI2D Antilles Guyane 2013 - Exercice 4

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Exercice 4 6 points

Fonctions logarithmes

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x} - \ln x$. On appelle $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$.

1. Sur le graphique ci-dessous, on donne $\mathcal{C}_{f}$ et les courbes $C$ et $\Gamma$. L'une de ces deux courbes représente graphiquement la dérivée $f'$ de $f$, et l'autre une des primitives $F$ de $f$.
   1. Indiquer laquelle des deux courbes $C$ et $\Gamma$ représente graphiquement $f'$. Justifier.
   2. Par lecture graphique, donner $F(1)$.
   
2. Dans cette question, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec les courbes représentatives données sur le dessin.
   1. Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $0$. Interpréter graphiquement cette limite.
   2. Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
   3. Calculer $f'(x)$ et montrer que l'on peut écrire : $f'(x) = \dfrac{- x - 1}{x^2}$.
   4. Étudier le signe de $f'(x)$ puis donner le tableau de variations de $f$.
3. Soit $H$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $H(x) = x - (x - 1) \ln x$.
   1. Montrer que $H$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
   2. En déduire l'expression de la fonction $F$ de la question 1.
   3. Calculer $\displaystyle\int_{1}^{e} f(x)\:\mathrm{d}x$.