Lois normales - Estimation

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Intervalle de fluctuation -Estimation

Un résultat préliminaire fondamental $\left (n\in \mathbb{N}^{\star}\right )$

On considère $X_n$ qui suit la loi $\mathcal{B}(n,p)$.
On pose $F_n=\dfrac{X_n}{n}$ et $Z_n=\dfrac{X_n-np}{\sqrt{npq}}=\dfrac{F_n-p}{\sqrt{\dfrac{pq}{n}}}.$
Alors les encadrements suivants sont équivalents : $\left ( \text{ car } \sqrt{\dfrac{pq}{n}}>0\right )$
$$-u_{\alpha}\leq Z_n\leq u_{\alpha}$$ $$-u_{\alpha}\leq \dfrac{F_n-p}{\sqrt{\dfrac{pq}{n}}}\leq u_{\alpha}$$ $$-u_{\alpha}.\sqrt{\dfrac{pq}{n}}\leq F_n-p\leq u_{\alpha}.\sqrt{\dfrac{pq}{n}}$$ $$\left | F_n-p\right |\leq u_{\alpha}.\sqrt{\dfrac{pq}{n}}$$ Cette dernière inégalité peut s'écrire de deux façons :

$$\begin{array}{c|c} p-u_{\alpha}.\sqrt{\dfrac{pq}{n}}\leq F_n\leq p+u_{\alpha}.\sqrt{\dfrac{pq}{n}} & F_n-u_{\alpha}.\sqrt{\dfrac{pq}{n}}\leq p \leq F_n+u_{\alpha}.\sqrt{\dfrac{pq}{n}}\\ F_n \in I_n & text{ pas d'intervalle} \\ p \text{ est connue : Fluctuation} & p \text{ est inconnue : Estimation} \\ \end{array}$$

Intervalle de fluctuation: $p$ est connue $\left (n\in \mathbb{N}^{\star}\right )$.

$P\left (F_n\in I_n\right )=P\left (-u_{\alpha}\leq Z_n\leq u_{\alpha}\right )$ dont la limite en $+\infty$ est $P\left (-u_{\alpha}\leq X_{0,1}\leq u_{\alpha}\right )=1-\alpha$.
Pour $\alpha\approx 0,05$ on obtient $\tilde{I_n}=\left [p-1,96\sqrt{\dfrac{pq}{n}};p+1,96\sqrt{\dfrac{pq}{n}}\right ].$
Exemple

Cours de 2nde :

$$P\left( p-\dfrac{1}{\sqrt n}\leq F_n\leq p+\dfrac{1}{\sqrt n}\right )\geq P\left (F_n\in I_n\right )$$ $$ \text{ dès que, successivement:}$$ $$I_n\subset\left[ p-\dfrac{1}{\sqrt n}; p+\dfrac{1}{\sqrt n}\right]$$ $$ \text{ à peu près }\; 1,96\dfrac{\sqrt{pq}}{\sqrt{n}} \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}} $$ $$\sqrt{pq}\leq \dfrac{1}{1,96} \; (\text{ dans } \; \mathbb{R}^+)$$ $$pq\leq \left (\dfrac{1}{1,96}\right )^2 \; \text{ avec } \; \left (\dfrac{1}{1,96}\right )^2\approx 0,2603$$ $$p(1-p)=pq\leq 0,26$$ $$\text{Or si on pose }\;V(p)=p(1-p)=-p^2+p \;\text{ pour tout } p \in [0;1] \; \text{on a } \;V'(p)=-2p+1$$ $$\text{d'où le tableau de variation de } \;V\; \text{ sur } [0;1]:$$

Donc $V(p)\leq 0,26$ sur $[0;1]$
Il résulte de $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}P\left (F_n\in I_n\right )=0,95$ que pour $n$ « suffisamment grand »( $n\geq 30$):

$$P\left( p-\dfrac{1}{ \sqrt n}\leq F_n\leq p+\dfrac{1}{\sqrt n}\right )\approx 0,95$$

Estimation: $p$ est inconnue.

 

Le programme

$$\text{pour } n \text{ « suffisamment grand : »} P\left( p-\dfrac{1}{ \sqrt n}\leq F_n\leq p+\dfrac{1}{\sqrt n}\right )\geq0,95$$ $$\text{ c'est-à-dire : } P\left (\left | F_n-p\right |\leq \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right )\geq 0,95$$ $$\text{ autrement dit, au niveau de confiance de } 0,95, p \text{ peut être estimée avec la précision } \dfrac{1}{\sqrt{n}} $$ $$\text{ par la fréquence } f \text{ associée à un échantillon de taille }n \text{( « suffisamment grand(e)»).}$$

Avant le second tour d'une élection présidentielle, on effectue deux sondages sur des échantillons représentatifs de la population.
On ne retient que les suffrages exprimés, c'est-à -dire les personnes qui ont l'intention de voter pour l'un ou l'autre des candidats.

  • le premier sondage concerne 1 003 personnes qui votent à  53,1 %  pour le candidat  A .
  • le seconde sondage concerne 9 851 personnes qui votent à  51,2 %  pour le candidat  A .

Lequel de ces sondages permet d'affirmer, au seuil de confiance de 95 %, que le candidat  A  va l'emporter ?



Cas général

$$\text{ pour } n \text{« suffisamment grand »: } P\left( p-u_{\alpha}.\sqrt{\dfrac{pq}{n}}\leq F_n\leq p+u_{\alpha}.\sqrt{\dfrac{pq}{n}}\right )\approx 1-\alpha $$

$$\text{ c'est-à-dire : } P\left (\left | F_n-p\right |\leq u_{\alpha}.\sqrt{\dfrac{pq}{n}}\right )\approx 1-\alpha $$

$$\text{ d'où } P\left (\left | F_n-p\right |\right )\leq \epsilon \approx 1-\alpha \text{ (niveau de confiance) dès que } u_{\alpha}.\sqrt{\dfrac{pq}{n}}\leq \epsilon $$ $$\text{ dès que } n\geq \dfrac{u_{\alpha}^2.p(1-p)}{\epsilon^2}$$

 

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