Limites - Exercices

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EXERCICES

Avec les définitions


Exercice
On considère la fonction $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2}$
  1. Donner des valeurs approchées à $10^{-3}$ près de $f(1)$, $f(32)$, $f(320)$ et $f(3232)$.
  2. Observer la représentation graphique de $f$ donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de $f$ en $+\infty$ ?
  3. On considère l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon 0,01 , c'est-à -dire $]1,99 ; 2,01[$ . Démontrer que pour $x > 10$ , $f(x)\in ]1,99 ; 2,01[$ (On pourra écrire $f(x)$ sous la forme $f(x)=2+1/x^2$ )
  4. On considère l'intervalle $]2-r, 2+r[$ avec $r>0$. Montrer que pour $x$ supérieur à un certain $x_0$ à déterminer en fonction de $r$ , tous les $f(x)$ appartiennent à l'intervalle $]2-r,2+r[$.
  5. Démontrer que $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=2$


Exercice


On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $3x^3+x^2$

  1. Donner les valeurs de $g(32)$, $g(320)$ et $g(3232)$.
  2. Observer la représentation graphique de $g$ donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de $g$ en $+\infty$ ?
  3. On considère l'intervalle $]100; +\infty[$ . Démontrer que pour $x > 10$, $f(x)\in\ ]100,+\infty[$.
  4. On considère un intervalle $]A,+\infty[$ , avec A > 0. Montrer que pour $x$ supérieur à $\sqrt{A}$ , tous les $f(x)$ appartiennent à l'intervalle $]A ; +\infty[$ .



Exercice

Soit $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=-2x+3$ Démontrez que $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$

Exercice

On considère la fonction $h$ définie sur $]1,+\infty[$ par $h(x)=2+\dfrac{3}{(x-1)^2}$

  1. Justifiez que $h$ est bien définie sur $]1,+\infty[$.
  2. Observer la représentation graphique de $h$ donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de $h$ en $1$ ?
  3. On considère l'intervalle $]1000; +\infty[$ . Donnez une condition suffisante portant sur $x$ pour que $h(x)\in\ ]1000,+\infty[$.
  4. On considère un intervalle $]A,+\infty[$ , avec A > 2. Donnez une condition suffisante portant sur $x$ pour que $h(x)\in ]A ; +\infty[$ .
  5. Justifiez que $\lim\limits_{x\to 1} h(x)=+\infty$.
Avec les théorèmes



Exercice

Limite en zéro Soit $f~:~x\mapsto \dfrac{|x|}{x}$. Étudiez sa limite en zéro. 


Exercice

De la géométrie pour calculer une limite
Voici une première méthode de calcul de $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}$. Pourquoi suffit-il d'étudier la limite pour des valeurs de $x>0$ ? Utilisez une figure pour obtenir que, pour tout $x\in]0,\pi/2[$,

$$\sin x< x <\tan x$$ Déduisez-en un encadrement de $\dfrac{\sin x}{x}$ pour tout $x\in]0,\pi/2[$ et concluez après avoir étudié la parité de la fonction. 


Exercices : Limites trigonométriques

En supposant connu le résultat de l'exercice précédent, calculez $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\tan x}{x}$ et $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}$

Pour la 2éme, utilisez la formule bien connue  $\cos(2a)=1-2\sin^2(a)$


Exercice : Limite et radicaux

Calculez :

  1. $ \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}$
  2. $ \lim\limits_{x\to +\infty}{\sqrt{x^2+1}-x} $
  3. $ \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2}{1-\sqrt{1-x^2}}$

 

Calculs stakhanovistes
 Applications directes du cours


Exercice


Étudier les limites des fonctions suivantes au voisinage de $+\infty$:

  1. $x^2-5x+6$;
  2. $-4x^2+6x-7$;
  3. $\dfrac{2x+1}{x-1}$;
  4. $\dfrac{2x^2-3x+5}{x^3+x-3}$;
  5. $\dfrac{x^3}{x^2+1}-x$;
  6. $\dfrac{2x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$.



Exercice


Étudier les limites des fonctions suivantes au voisinage de $+\infty$:

  1. $\dfrac{x+\sin(x)}{-2x+\cos(x)}$;
  2. $2x-\sqrt{x^2+3x-1}$;
  3. $\dfrac{\sqrt{x^2-2x+3}}{x}$.


Étudier les limites des fonctions suivantes au voisinage de $a$:

  1. $\dfrac{x+4}{x^2+3x+2}$ en $a=-2$;
  2. $\dfrac{x+2}{x^2+3x+2}$ en $a=-2$;
  3. $\dfrac{-x^2+x+6}{2x^2-5x+2}$ en $a=2$;
  4. $\dfrac{\sqrt{x+1}}{x}$ en $a=0$;
  5. $\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ en $a=0$;
  6. $\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$ en $a=0$;
  7. $\tan(x)$ en $a=\dfrac{\pi}{2}$;
  8. $\dfrac{\sin(3x)}{x}$ en $a=0$.



Exercice


Soit $f$ la fonction définie par : \[f(x)=\dfrac{-x^3+2x^2-x+3}{x^2+1} \,.\]

  1. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x^2+1}$.
  2. Calculer la limite de $f(x)-(ax+b)$ en $+\infty$ puis en $-\infty$.
  3. En déduire que la courbe représentative de $f$, $\mathcal{C}$ admet une asymptote oblique $\Delta$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
  4. Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et de $\Delta$.
 Approfondissement

Exercice


Étudier les limites des fonctions suivantes :

  1. $\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}$ en $+\infty$;
  2. $x\left(\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}-1\right)$ en $+\infty$;
  3. $\dfrac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+3}}{x^2-2x}$ en $2$;
  4. $\dfrac{\tan(x)}{x}$ en $0$;
  5. $\dfrac{\sin(ax)}{\sin(bx)}$ en $0$ avec $ab\neq0$;
  6. $x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ en $+\infty$.



Exercice


Étudier selon les valeurs de $a$ et de $b$ les limites de

  1. $f:x\mapsto\sqrt{x^2+5x+1}+ax+b$ en $+\infty$ et en $-\infty$
  2. $g:x\mapsto\dfrac{ax^2-(2a+1)x+2}{x-1}$ en 1.



Exercice


Question de cours (Métropole, Nouvelle Calédonie novembre 2007)

  1. Soit $f$ une fonction réelle définie sur $[a~;~+ \infty[$. Compléter la phrase suivante : « On dit que $f$ admet une limite finie $\ell$ en $+ \infty$ si ... »
  2. Démontrer le théorème « des gendarmes » : soient $f,~g$ et $h$ trois fonctions définies sur $[a~;~+ \infty[$ et $\ell$ un nombre réel. Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $\ell$ quand $x$ tend vers $+ \infty$, et si pour tout $x$ assez grand $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$, alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à $\ell$.
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