Continuité

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Limite d'une suite et fonction continue

1. Théorème Suites et applications continues

L'idée de ce théorème est que pour que l'on puisse permuter les symboles $f$ et $lim$, il suffit que $f$ soit continue.

Exemples

Exemple 1 : cas où $f$ est continue. Déterminer la limite de la suite $(v_n)$ définie, pour $n \in \mathbb{N} ^{\star}$, par :$ v_n = \sqrt{ n .\sin\left( \dfrac{1}{n}\right)}$

Remarque: Cette suite est bien définie; en effet on a $n \geq 1$ ; ainsi $0<\dfrac{1}{n}\leq 1 $; puis $\sin\left( \dfrac{1}{n}\right)\leq 1$ car $\sin(t)\leq 1$ si $t \in ] 0;1]$.
Ecrivons : $n \sin \left(\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{\sin\left (\dfrac{1}{n}\right )}{\dfrac{1}{n}}$


Or, on sait que $ \displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)=1$
donc : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left(\dfrac{\sin\left( \dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}} \right)=1$

D'où : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}n\sin\left( \dfrac{1}{n}\right)=1$

Par ailleurs, l'application $x \mapsto \sqrt x $ est continue en 0, par conséquent :
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\sqrt{n\sin\left( \dfrac{1}{n}\right)}=\sqrt 1 =1$

Exemple 2 : cas où $f$ n'est pas continue. Déterminer la limite de la suite $(v_n$ ) définie, pour $n \in \mathbb{N} ^{\star}$, par : $ v_n = E\left( 1- \dfrac{1}{n}\right)$


On sait que :$ \displaystyle\lim_{n \to + \infty}(1-\dfrac{1}{n})=1$

Malheureusement, la fonction $E$ n'est pas continue en 1. Le théorème précédent ne peut donc s'appliquer... Et la suite $(v_n)$ ne converge pas vers 1 mais vers 0. En effet, pour tout $n \in \mathbb{N} ^{\star}$, on a :
$0 \leq 1 - \dfrac{1}{n} < 1$
Donc, pour tout $n \in\mathbb{N} ^{\star}$ : $E \left(1- \dfrac{1}{n})\right)=0$

La suite $(v_n)$ est donc constante égale à 0. Donc sa limite est 0.

On considère les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par : $ u_n =\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2n.\pi}$ et $v_n= \dfrac{1}{-\frac{\pi}{2}+2n.\pi}$

On a :$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n=0$ et :$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n=0$

Or, $f(u_n) = \sin(\frac{\pi}{2}+2n.\pi)=1$ et$f(v_n) = \sin(-\frac{\pi}{2}+2n.\pi)= -1 $

donc $ \displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(u_n) = 1$ et $ \displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(v_n) = 1$

Si $f$ était continue en 0, on devrait avoir :

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(u_n) =f(0)$
C'est-à-dire : $1 = \lambda$
De même, on devrait avoir :

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(v_n) =f(0)$
C'est-à-dire : $-1 = \lambda$
C'est-à-dire : $-1 =1$
D'où une contradiction. Donc$f $ n'est pas continue en 0.