Baccalauréat S Asie 20 juin 2019 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

 

La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d'évolution de la température d'un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant.
Une tasse de café est servie à une température initiale de 80° dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée $M$. Le but de cet exercice est d'étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton suivant deux modèles. L'un, dans la partie A, utilise une suite; l'autre, dans la partie B, utilise une fonction.
Les parties et B sont indépendantes

Partie A

Dans cette partie, pour tout entier naturel $n$, on note $T_n$ la température du café à l'instant $n$, avec $T_n$ exprimé en degré Celsius et $n$ en minute. On a ainsi $T_0 = 80$. On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques $n$ et $n + 1$ par l'égalité: $$T_{n+1} - T_n = k\left(T_n - M\right)$$ où $k$ est une constante réelle. Dans la suite de la partie A, on choisit $M = 10$ et $k = - 0,2$. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_{n+1} - T_n = - 0,2 \left(T_n -10\right)$.

1. D'après le contexte, peut-on conjecturer le sens de variations de la suite $\left(T_n\right)$ ?
La température du café sera toujours supérieure ou égale à celle du milieu dans lequel il est placé. Donc ici, on aura toujours $T_n\geq 10$.
Ainsi $T_n-10\geq 0$.
Cela signifie donc, que pour tout entier naturel $n$ on a : $T_{n+1}-T_n=-0,2\left(T_n-10\right)\leq 0$.
On peut donc conjecturer que la suite $\left(T_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ :  $T_{n+1} = 0,8 T_n + 2$.
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} T_{n+1}-T_n=-0,2\left(T_n-10\right) &\iff T_{n+1}-T_n=-0,2T_n+2 \\ &\iff T_{n+1}=T_n-0,2T_n+2\\ &\iff T_{n+1}=0,8T_n+2\end{align*}$
$\quad$
3. On pose, pour tout entier naturel $n$:  $u_n = T_n - 10$.
   1. Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $u_0$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} u_{n+1}&=T_{n+1}-10\\ &=0,8T_n+2-10\\ &=0,8T_n-8\\ &=0,8\left(T_n-10\right)\\ &=0,8u_n\end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0=T_0-10=70$.
   $\quad$
   
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_n = 70 \times 0,8^n + 10$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=70\times 0,8^n$.
   Donc $T_n=u_n+10=70\times 0,8^n+10$.
   $\quad$
   
   3. Déterminer la limite de la suite $\left(T_n\right)$.
   On a $-1<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty}T_n=10$.
   $\quad$
4. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c|}\hline \text{Tant que } T \geqslant 40 \\ \hspace{0.8cm} T\gets 0,8T+2 \\ \hspace{0.8cm} n \gets n+1 \\ \text{Fin Tant que }\\ \hline \end{array}$$
   1. Au début, on affecte la valeur $80$ à la variable $T$ et la valeur $0$ à la variable $n$. Quelle valeur numérique contient la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
   Voici les différentes valeurs prises par les variables :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \hspace{0.5cm}n\hspace{0.5cm}&\hspace{0.5cm}0\hspace{0.5cm}&\hspace{0.5cm}1\hspace{0.5cm}&\hspace{0.5cm}2\hspace{0.5cm}&\hspace{0.5cm}3\hspace{0.5cm}&\hspace{0.5cm}4\hspace{0.5cm}\\ \hline T&80&66&45,84&54,8&38,672\\ \hline \end{array}$$
   À la fin de l’exécution de l’algorithme la variable $n$ contient la valeur $4$.
   $\quad$
   
   2. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
   Cela signifie qu’il faut $4$ minutes pour que la température du café soit inférieure à $40$ degré Celcius.
   $\quad$

 

Partie B

Dans cette partie, pour tout réel $t$ positif ou nul, on note $\theta(t)$ la température du café à l'instant $t$, avec $\theta(t)$ exprimé en degré Celsius et $t$ en minute. On a ainsi $\theta(0) = 80$.
Dans ce modèle, plus précis que celui de la partie A, on suppose que $\theta$ est une fonction dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et que, pour tout réel $t$ de cet intervalle, la loi de Newton se modélise par l'égalité : $$\theta'(t)= - 0,2(\theta(t) - M).$$

1. Dans cette question, on choisit $M = 0$. On cherche alors une fonction $\theta$ dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ vérifiant $\theta(0) = 80$ et, pour tout réel $t$ de cet intervalle : $\theta'(t) = - 0,2\theta(t)$.
   1. Si $\theta$ est une telle fonction, on pose pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$,  $f(t) = \dfrac{\theta(t)}{\text{e}^{- 0,2t}}$. Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et que, pour tout réel $t$ de cet intervalle, $f'(t) = 0$.
   La fonction $t\mapsto -0,2t$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et la fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb R$. La fonction $t\mapsto \text{e}^{-0,2t}$ est donc dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas (la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$).
   $\quad$
   Pour tout réel $t\geq 0$ on a :
   $\begin{align*} f'(t)&=\dfrac{\theta'(t)\times \text{e}^{-0,2t}-\theta(t)\times \left(-0,2\text{e}^{-0,2t}\right)}{\text{e}^{-0,4t}}\\ &=\dfrac{\left(\theta'(t)+0,2\theta(t)\right)\text{e}^{-0,2t}}{\text{e}^{-0,4t}}\\ &=\dfrac{-0,2\theta(t)+0,2\theta(t)}{\text{e}^{-0,2t}}\\ &=0\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. En conservant l'hypothèse du a. , calculer $f(0)$. En déduire, pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ , une expression de $f(t)$, puis de $\theta(t)$.
   On a $f(0)=\dfrac{\theta(0)}{\text{e}^0}=80$.
   D’après la question 1.a. la fonction $f$ est donc constante.
   Et pour tout réel $t\geq 0$ on a $f(t)=80$.
   Cela signifie donc que : $$80=\dfrac{\theta(t)}{\text{e}^{-0,2t}} \iff \theta(t)=80\text{e}^{-0,2t}$$
   $\quad$
   
   3. Vérifier que la fonction $\theta$ trouvée en b. est solution du problème.
   On considère la fonction $\theta$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $\theta(t)=80\text{e}^{-0,2t}$.
   Ainsi $\theta(0)=80$.
   La fonction $\theta$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que produit d’une fonction dérivable sur cet intervalle par un réel.
   De plus, pour tout réel $t \geq 0$ on a :
   $\theta'(t)=80\times \left(-0,2\text{e}^{-0,2t}\right)=-0,2\theta(t)$.
   La fonction $\theta$ est donc solution du problème.
   $\quad$
2. Dans cette question, on choisit $M = 10$. On admet qu'il existe une unique fonction $g$ dérivable sur $[0~;~+\infty[$, modélisant la température du café à tout instant positif $t$, et que, pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ : $$g(t)=10 + 70\text{e}^{-0,2t},  \text{où }  t  \text{ est exprimé en minute et }  g(t)  \text{ en degré Celsius.}$$ Une personne aime boire son café à $40$°. Montrer qu'il existe un unique réel $t_0$ dans $[0~;~+\infty[$ tel que $g\left(t_0\right) = 40$. Donner la valeur de $t_0$ arrondie à la seconde.
D’après l’énoncé, la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
Pour tout réel $t\geq 0$ on a $g'(t)=70\times \left(-0,2\text{e}^{-0,2t}\right)=-14\text{e}^{-0,2t}$.
La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb R$, cela signifie donc que $g'(t)<0$.
La fonction $g$ est donc décroissante sur $[0;+\infty[$. Elle est de plus continue (car dérivable) sur cet intervalle.
$g(0)=80$
$\lim\limits_{t\to +\infty} -0,2t=-\infty$ et $\lim\limits_{T \to -\infty}\text{e}^{T}=0$ donc $\lim\limits_{t\to +\infty} \text{e}^{-0,2t}=0$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=10$.
Or $40\in]10;80]$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(t)=40$ possède une unique solution $t_0$.
D’après la calculatrice $t_0\approx 4,236$.
$0,436$ min $\approx 26$ s.
Ainsi $t_0 \approx 4$ min $26$ s.
$\quad$