Baccalauréat S Liban 31 mai 2019 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

 

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans un jardin public, un artiste doit installer une œuvre aquatique commandée par la mairie. Cette œuvre sera constituée de deux bassins A et B ainsi que d'une réserve filtrante R. Au départ, les deux bassins contiennent chacun 100 litres d'eau. Un système de canalisations devra alors permettre de réaliser, toutes les heures et dans cet ordre, les transferts d'eau suivants:

• dans un premier temps, la moitié du bassin A se vide dans la réserve R ;
• ensuite, les trois quarts du bassin B se vident dans le bassin A ;
• enfin, on rajoute $200$ litres d'eau dans le bassin A et $300$~litres d'eau dans le bassin B.

Une étude de faisabilité du projet amène à étudier la contenance des deux bassins A et B qui est à prévoir pour éviter tout débordement.
On modélise les quantités d'eau des deux bassins A et B à l'aide de deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ : plus précisément pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ et $b_n$ les quantités d'eau en centaines de litres qui seront respectivement contenues dans les bassins A et B au bout de $n$ heures. On suppose pour cette étude mathématique que les bassins sont a priori suffisamment grands pour qu'il n'y ait pas de débordement.
Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice colonne $U_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n \end{pmatrix}$. Ainsi $U_0 = \begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix}$.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$,  $U_{n+1} = MU_n + C$ où $M = \begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&0,25\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$a_{n+1}=0,5a_n+0,75b_n+2$ et $b_{n+1}=0,25b_n+3$.
Ainsi :
$\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&0,25\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
Soit $U_{n+1}=MU_n+C$.
$\quad$
2. On considère la matrice $P = \begin{pmatrix}1 &3\\0&- 1\end{pmatrix}$.
   1. Calculer $P^2$. En déduire que la matrice $P$ est inversible et préciser sa matrice inverse.
   On a :
   $P^2=\begin{pmatrix} 1&3-3\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
   Ainsi $P$ est inversible et $P^{-1}=P$.
   $\quad$
   
   2. Montrer que $PMP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
   On a :
   $\begin{align*} PMP&=\begin{pmatrix}1&3\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&0,25\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\0&-1\end{pmatrix}\\
   &=\begin{pmatrix}0,5&1,5\\0&-0,25\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\0&-1\end{pmatrix}\\
   &=\begin{pmatrix}0,5&0\\0&0,25\end{pmatrix}\end{align*}$
   La matrice $D=PMP$ est donc une matrice diagonale et $D=\begin{pmatrix}0,5&0\\0&0,25\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   3. Calculer $PDP$.
   On a :
   $\begin{align*} PMP=D&\iff PPMP=PD \quad (*)\\
   &\iff MP=PD\\
   &\iff MPP=PDP \quad (*)\\
   &\iff M=PDP\end{align*}$
   $(*)$ Puisque $P^{-1}=P$.
   $\quad$
   
   4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\, $M^n = PD^nP$.
   On note $I_2$ la matrice identité de taille $2$.
   Initialisation : Si $n=0$ on a $PD^0P=PI_2P=P^2=I_2$.
   Et $M^0=I_2$
   Donc $M^0=PD^0P$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $M^n=PD^nP$.
   Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $M^{n+1}=PD^{n+1}P$.
   $\begin{align*} M^{n+1}&=M^nM\\
   &=PD^nPPDP\\
   &=PD^nDP\\
   &=PD^{n+1}P\end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Pour tout entier naturel $n$ on a $M^n=PD^nP$.
   $\quad$

On admet par la suite que pour tout entier naturel $n$,  $M_n = \begin{pmatrix}0,5^n& 3 \times 0,5^n - 3 \times 0,25^n\\0&0,25^n\end{pmatrix}$.

1. Montrer que la matrice $X = \begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}$ vérifie $X = MX + C$.
On a :
$\begin{align*} MX+C&=\begin{pmatrix}8\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix} \\
&=X\end{align*}$
$\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$, on définit la matrice $V_n$ par $V_n = U_n - X$.
   1. Montrer que tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = MV_n$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} V_{n+1}&=U_{n+1}-X \\
   &=MU_n+C-\left(MX+C\right)\\
   &=MU_n+C-MX-C\\
   &=MU_n-MX\\
   &=M\left(U_n-X\right)\\
   &=MV_n\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. On admet que, pour tout entier naturel non nul $n$, $V_n = M^n V_0$.
      Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$,  $U_n = \begin{pmatrix}-18 \times 0,5^n + 9 \times 0,25^n + 10\\- 3 \times 0,25^n + 4\end{pmatrix}$.
   On a $V_0=U_0-X=\begin{pmatrix} -9\\-3\end{pmatrix}$
   Et pour tout entier naturel $n$ :
   $\begin{align*} U_n&=V_n+X\\
   &=M^nV_0+X \\
   &=\begin{pmatrix} -9\times 0,5^n-9\times 0,5^n+9\times 0,25^n\\-3\times 0,25^n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 10\\4\end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix}-18\times 0,5^n+9\times 0,25^n+10\\-3\times 0,25^n+4\end{pmatrix}\end{align*}$
   $\quad$
3. 1. Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est croissante et majorée. Déterminer sa limite.
   Pour tout entier naturel $n$ on a donc $b_n=-3\times 0,25^n+4$.
   Donc
   $\begin{align*} b_{n+1}-b_n&=-3\times 0,25^{n+1}+4+3\times 0,25^n-4\\
   &=-3\times 0,25^n\times (0,25-1) \\
   &=2,25\times 0,25^n\\
   &>0\end{align*}$
   La suite $\left(b_n\right)$ est donc croissante.
   De plus $b_n-4=-3\times 0,25^n<0$.
   La suite $\left(b_n\right)$ est donc croissante et majorée par $4$; elle converge donc.
   Or $-1<0,25<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,25^n=0$.
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} b_n=4$.
   $\quad$
   
   2. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$.
   $-1<0,25<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,25^n=0$ et $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=10$.
   $\quad$
   
   3. On admet que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante. En déduire la contenance des deux bassins A et B qui est à prévoir pour la faisabilité du projet, c'est-à-dire pour éviter tout débordement.
   D’après les deux résultats précédents, il faut donc prévoir un bassin A de $1~000$ litres et un bassin B de $400$ litres.
   $\quad$