Baccalauréat S Amérique du Nord 29 mai 2018 - Exercice 3
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Exercice 3 5 points
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé dont l'origine est le point A. On considère les points B$(10~;~-8~;~2)$, C$(-1~;~-8~;~5)$ et D$(14~;~4~;~8)$.
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- Déterminer un système d'équations paramétriques de chacune des droites (AB) et (CD).
- Vérifier que les droites (AB) et (CD) ne sont pas coplanaires.
- On considère le point I de la droite (AB) d'abscisse 5 et le point J de la droite (CD) d'abscisse 4.
- Déterminer les coordonnées des points I et J et en déduire la distance IJ.
- Démontrer que la droite (IJ) est perpendiculaire aux droites (AB) et (CD). La droite (IJ) est appelée perpendiculaire commune aux droites (AB) et (CD).
- Cette question a pour but de vérifier que la distance IJ est la distance minimale entre les droites (AB) et (CD). Sur le schéma ci -dessous on a représenté les droites (AB) et (CD), les points I et J, et la droite $\Delta$ parallèle à la droite (CD) passant par I. On considère un point $M$ de la droite (AB) distinct du point I. On considère un point $M'$ de la droite (CD) distinct du point J.
- Justifier que la parallèle à la droite (IJ) passant par le point $M'$ coupe la droite $\Delta$ en un point que l'on notera $P$.
- Démontrer que le triangle $MPM'$ est rectangle en $P$.
- Justifier que $MM' > IJ$ et conclure.
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